上級者
数学A：整数
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ヒント：倍数，余りを考えよう．自然数は，\(a\)をある倍数として，\(ak+1,\cdots,ak+(a-1),ak+a\) \((k \geqq 0)\)と表現できる．
問題
\(p\),\(2p-1\),\(3p+4\),\(p^2+4\)がいずれも素数であるような\(p\)をすべて求めよ．（類 一橋大）
解答
\(k\geqq 1\)とする．
\(p=5k-4\)の時，\(p^2+4=5(5k^2-8k+4)\)なので，\(k=1\)は5なので素数だが，\(p=1\)なので不適．\(k \geqq 2\)は1と5以外の因数を持つので不適．
\(p=5k-3\)の時，\(3p+4=5(3k-1)\)なので，\(k\geqq 1\)は1と5以外の因数を持つので不適．
\(p=5k-2\)の時，\(2p-1=5(2k-1)\)なので，\(k=1\)は5なので素数．ほかの値については，\(p=3\)で素数．\(3p+4=13\)で素数．\(p^2+4=13\)で素数．
\(p=5k-1\)の時，\(p^2+4=5(5k^2-2k+1)\)なので，\(k\geqq 1\)は1と5以外の因数を持つので不適．
\(p=5k\)の時，\(k=1\)は\(p=5\)なので素数だが，\(2p-1=9\)なので不適．
よって，答えは\(p=3\)
参考入試問題
(1) \(p\),\(2p+1\),\(4p+1\)がいずれも素数であるような\(p\)をすべて求めよ．
(2) \(q\),\(2q+1\),\(4q−1\),\(6q−1\),\(8q+1\)がいずれも素数であるような\(q\)をすべて求めよ．（2005 一橋大学）
解答
(1)
\(k\geqq 1\)とする．
\(p=3k-2\)の時，\(2p+1=3(2k-1)\)なので，\(k=1\)は3なので素数だが，\(p=1\)なので不適．\(k \geqq 2\)は1と3以外の因数を持つので不適．
\(p=3k-1\)の時，\(4p+1=3(4k-1)\)なので，\(k\geqq 1\)は1と3以外の因数を持つので不適．
\(p=3k\)の時，\(k=1\)は\(p=3\)なので素数．ほかの値については，\(2p+1=7\)で素数．\(4p+1=13\)で素数．
よって，答えは\(p=3\)
(2)
\(k\geqq 1\)とする．
\(q=5k-4\)の時，\(6q−1=5(6k-5)\)なので，\(k=1\)は5なので素数だが，\(q=1\)なので不適．\(k \geqq 2\)は1と5以外の因数を持つので不適．
\(q=5k-3\)の時，\(2q+1=5(2k-1)\)なので，\(k=1\)は5なので素数．ほかの値については，\(q=2\)，\(2q+1=5\)で素数．\(4q-1=7\)で素数．\(6q-1=11\)で素数．\(8q+1=17\)で素数．
\(k \geqq 2\)は1と5以外の因数を持つので不適．
\(q=5k-2\)の時，\(8q+1=5(8k-3)\)なので，\(k\geqq 1\)は1と5以外の因数を持つので不適．
\(q=5k-1\)の時，\(4q-1=5(4k-1)\)なので，\(k\geqq 1\)は1と5以外の因数を持つので不適．
\(q=5k\)の時，\(k=1\)は\(q=5\)なので素数．ほかの値については，\(2q+1=11\)で素数．\(4q-1=19\)で素数．\(6q-1=29\)で素数．\(8q+1=41\)で素数．
よって，答えは\(q=2,5\)