上級者
数学A：整数
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ヒント：条件を満たす定数を求めてから（十分条件），その定数が本当に条件を満たすか（必要条件）確認すること．また倍数を示すために，\(a\)をある倍数として，\(ak+1,\cdots,ak+(a-1),ak+a\) \((k \geqq 0)\)を使ったり，連続する整数の性質を利用するなどをしよう．
問題
\(\displaystyle f(n)=\frac{1}{4}n^{4}+an^{3}+bn^{2}+cn+d\)とおく．定数\(a,b,c,d\)は\(\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle 0 \leqq b<\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle 0 \leqq c<\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle 0 \leqq d<\frac{1}{2}\)を満たし，すべての整数\(n\)に対して\(f(n)\)は整数である．この条件を満たす\((a,b,c,d)\)の組をすべて求めよ．（類 愛媛大）
解答
\(f(0)=d\)で，\(f(n)\)は整数，\(\displaystyle 0 \leqq d <\frac{1}{2}\)より，\(d=0\)
\(\displaystyle f(1)=\frac{1}{4}+a+b+c\)…①
\(\displaystyle f(-1)=-\frac{1}{4}+a-b+c\)…②
\(f(1)+f(-1)=2(a+c)\)(=整数)
また，\(0 \leqq 2(a+c)< 2\)より，
\(2(a+c)=0,1\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle a+c=0,\frac{1}{2}\)…③
\(\displaystyle f(1)-f(-1)=\frac{1}{2}+2b\)(=整数)
また，\(\displaystyle \frac{1}{2} \leqq \frac{1}{2}+2b< \frac{1}{2}+2\)より，
\(\displaystyle \frac{1}{2}+2b=1,2\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle b=\frac{1}{4},\frac{3}{4}\)…④
①に③，④を代入して\(f(1)\)が整数となる場合は，
\((a+c,b)\)\(=\displaystyle \left(0,\frac{3}{4}\right)\)，\(\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)\)
\((a+c,b)\)\(=\displaystyle \left(0,\frac{3}{4}\right)\)については，\(b\)が解を満たさない．
また，\((a+c,b)\)\(=\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)\)については，
\(f(2)=5+2(4a+c)\)(=整数)より，\(\displaystyle 4a+c=\frac{k}{2}\)（\(k\)は整数）…⑤
と置ける．
よって，⑤から\(\displaystyle a+c=\frac{1}{2}\)を引くと
\(\displaystyle 3a=\frac{1}{2}(k-1)\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle a=\frac{1}{6}(k-1)\)
\(\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}\)より，\(\displaystyle a=0,\frac{1}{6},\frac{1}{3}\)
ここで\(a=0\)の時，\(\displaystyle c=\frac{1}{2}\)だが，これは\(\displaystyle 0 \leqq c<\frac{1}{2}\)を満たさない．
ここで\(\displaystyle a=\frac{1}{6}\)の時，\(\displaystyle c=\frac{1}{3}\)
こちらは，\(\displaystyle f(n)=\frac{1}{4}n^{4}+\frac{1}{6}n^{3}+\frac{1}{4}n^{2}+\frac{1}{3}n\)\(=\displaystyle \frac{1}{4}(n-1)n^2(n+1)+\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)\)
ここで，\(n=2k-1\)の時，\((n-1)(n+1)=4k(k-1)\)，\(n=2k\)の時は，\(n^2=4k^2\)なので，\((n-1)n^2(n+1)\)は4の倍数．また，\(n(n+1)(n+2)\)は3連続する整数なので，6の倍数となるので，\(f(n)\)は常に整数となる．
ここで\(\displaystyle a=\frac{1}{3}\)の時，\(\displaystyle c=\frac{1}{6}\)
こちらは，\(\displaystyle f(n)=\frac{1}{4}n^{4}+\frac{1}{3}n^{3}+\frac{1}{4}n^{2}+\frac{1}{6}n\)\(=\displaystyle \frac{1}{4}(n-1)n^2(n+1)+\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)+\frac{1}{6}(n-1)n(n+1)\)
ここで，\((n-1)n^2(n+1)\)は4の倍数，\(n(n+1)(n+2)\)，\((n-1)n(n+1)\)は6の倍数となるので，\(f(n)\)は常に整数となる．
以上より答えは，
\((a,b,c,d)\)\(=\displaystyle \left(\frac{1}{6},\frac{1}{4},\frac{1}{3},0\right)\),\(\displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{6},0\right)\)
参考入試問題
\(f(n)=\displaystyle \frac{1}{6}n^{3}+an^{2}+bn\)とおく．定数\(a,b\)は\(0≦a<1\)，\(0≦b<1\)を満たし，\(f(−1),f(1)\)はともに整数であるとする．
(1)上の条件を満たす\((a,b)\)の組をすべて求めよ．
(2)すべての整数\(n\)に対して\(f(n)\)は整数であることを示せ．(03愛媛大)
解答
(1)
\(f(-1)=-\displaystyle \frac{1}{6}+a-b\)，\(\displaystyle f(1)=\frac{1}{6}+a+b\)
\(f(-1)+f(1)=2a\)(=整数)
また，\(0≦2a<2\)なので，\(a=0,\displaystyle \frac{1}{2}\)である．
\(a=0\)のとき，\(f(1)=\displaystyle \frac{1}{6}+b\)=整数で，\(0≦b<1\)から\(b=\displaystyle \frac{5}{6}\)である．
\(a=\displaystyle \frac{1}{2}\)のとき，\(f(1)=\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{2}+b=\frac{2}{3}+b\)=整数で，\(0≦b<1\)から\(b=\displaystyle \frac{1}{3}\)である．
以上から\((a,b)\)\(=\left(0,\displaystyle \frac{5}{6}\right)\)，\(\displaystyle \left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)\)
(2)
\((a,b)\)\(=\left(0,\displaystyle \frac{5}{6}\right)\)のとき，
\(f(n)=\displaystyle \frac{1}{6}n^{3}+\frac{5}{6}n\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}n(n^{2}+5)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}n(n^{2}-1+6)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}(n-1)n(n+1)+n\)
ここで\((n-1)n(n+1)\)は3連続する整数なので，6の倍数となる．
\((a,b)=\left(\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)\)のとき，
\(f(n)=\displaystyle \frac{1}{6}n^{3}+\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{3}n\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}n(n^{2}+3n+2)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(n+2)\)
ここで\(n(n+1)(n+2)\)は3連続する整数なので，6の倍数となる．
よって\(f(n)\)はすべての整数\(n\)に対して整数である．