上級者
数学A：整数
-
ヒント：互いに素であることや，値の大小の違いを利用して場合分けを少なくしていこう．
問題
以下の式を満たす素数\(p,q\)を求めよ．（オリジナル）
(1) \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=p\)
(2) \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=pq\) \((p<q)\)
解答
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
(1)
\(n(n+1)(2n+1)=2\times3\times p\)
ここで，因数\(1,2,3,p\)を\(n\)，\(n+1\)，\(2n+1\)のいずれかに分ければよいが，\(n\)，\(n+1\)，\(2n+1\)は互いに素である（※）ため，因数の分け方について\(p=2\)の場合は，例えば\(1,2,6\)のように2の因数が分かれることはなく，\(p=3\)の時も同様である．
また\(n<n+1<2n+1\)なので，3つの因数の小さい順に示した場合，値をそのまま当てはめることができる．
\(p=2\)の場合，因数の小さい順に\(1,3,4\)と分けることができるが，当てはまる\(n\)はない．
\(p=3\)の場合，因数の小さい順に\(1,2,9\)と分けることができるが，当てはまる\(n\)はない．
\(p\geqq 5\)の場合，因数の小さい順に\(1,2,3p\)，\(1,3,2p\)，\(1,p,6\)，\(2,3,p\)と分けることができ，当てはまる\(n\)は\(n=2\)であり，\(p=5\)である．
(2)
\(n(n+1)(2n+1)=2\times3\times p\times q\)
ここで，因数\(1,2,3,p,q\)を\(n\)，\(n+1\)，\(2n+1\)のいずれかに分ければよい．
因数の分け方について，(1)と同じ考えに基づき，可能性のある場合を考える．
またパターンとして，\(n,n+1\)が連続する整数となることも因数を分ける時の条件として含める．
\(p=2\)の場合，因数を場合分けした場合，\(3,4,q\)のみ当てはまる．この時に当てはまる\(n\)は\(n=3\)であり，\(q=7\)である．
\(p=3\)の場合，因数の小さい順に\(1,q,18\)と\(1,2,9q\)と分けることができるが，当てはまる\(n\)はない．
\(p\geqq 5\)の場合，因数を\(1,2,3pq\)と\(2,3,pq\)と\(p,6,q\)と\(6,p,q\)と分けることができ，当てはまる\(n\)は\(n=5,6\)であり，\((p,q)\)\(=(5,11)\),\((7,13)\)である．
以上より，\((p,q)\)\(=(2,7)\),\((5,11)\),\((7,13)\)
※互いに素な点について
正の整数\(n\)と\(n+1\)が1以外の共通因数\(g\)を持つとすると，
\(n=ga\)，\(n+1=gb\)と置ける．(\(a,b\)は整数)
ここで，\(g(b-a)=1\)で\(g=1\)となるので，仮定である共通因数\(g\)を持つに矛盾．
よって，\(n\)と\(n+1\)は互いに素である．
正の整数\(n\)と\(2n+1\)が1以外の共通因数\(g\)を持つとすると，
\(n=ga\)，\(2n+1=gb\)と置ける．(\(a,b\)は整数)
ここで，\(g(b-2a)=1\)で\(g=1\)となるので，仮定である共通因数\(g\)を持つに矛盾．
よって，\(n\)と\(2n+1\)は互いに素である．
正の整数\(n+1\)と\(2n+1\)が1以外の共通因数\(g\)を持つとすると，
\(n+1=ga\)，\(2n+1=gb\)と置ける．(\(a,b\)は整数)
ここで，\(g(2a-b)=1\)で\(g=1\)となるので，仮定である共通因数\(g\)を持つに矛盾．
よって，\(n+1\)と\(2n+1\)は互いに素である．