上級者
数学A：整数，数学Ⅰ：図形と計量
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ヒント：オリジナル問題は考えられる場合を全て記述すれば解ける．参考入試問題は三角形の成立条件（三角不等式）と素数であることを利用せよ．
問題（オリジナル）
各辺が\(a,b,c\)の三角形\(ABC\)において，\(a+c=2b\)が成り立ち，三角形\(ABC\)のある角度が\(60^{\circ}\)の時，三角形\(ABC\)は正三角形になることを示せ．
解答
\(a+c=2b\cdots(1)\)に対して，\(a,b,c\)の大小関係を考えると，全ての場合として6パターン考えられる．
\(a<c<b,~c<a<b\)の時，\(a<b,~c<b\)より，\(a+c<2b\)
また，\(b<a<c,~b<c<a\)の時，\(b<a,~b<c\)より，\(2b<a+c\)
よって，残りのパターンである\(a\leqq b\leqq c\)もしくは，\(c\leqq b\leqq a\)を考える．
ここで\(a,c\)の対称性より，\(a\leqq c\)としてよい．
次に\(a\leqq b\leqq c\)より，\(\angle A\leqq\angle B\leqq\angle C\)
また，\(\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}\)で，\(\angle 3A\leqq \angle A+\angle B+\angle C\leqq \angle 3C\)より，
\(\angle A\leqq 60^{\circ}\)，\(\angle C\geqq 60^{\circ}\)となる．
よって，\(\angle B=60^{\circ}\)である．
ここで，余弦定理より，
\(a^2+c^2-2ac\cos60^{\circ}=b^2\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2+c^2-ac=b^2\cdots(2)\)
\((1),(2)\)より，\(c\)を消去すると，\((a-b)^2=0\)
よって，\(a=b\)
これを\((1)\)に代入すると，\(a=c\)
以上より，全ての辺の長さが等しいことから，正三角形であることが示された．
参考入試問題
三角形\(ABC\)において，\(\angle B=60^{\circ}\),\(B\)の対辺の長さ\(b\)は整数，他の2辺の長さ\(a,c\)はいずれも素数である．このとき三角形\(ABC\)は正三角形であることを示せ．(1990京都大学)
解答
①辺の長さで示す．
\(a,c\)の対称性より，\(a\leqq c\)と考えてよい．さらに\(a\leqq c\)より，\(\angle A\leqq\angle C\)
また，\(\angle A+\angle C=120^{\circ}\)で，\(\angle 2A\leqq \angle A+\angle C\leqq \angle 2C\)より，\(\angle A\leqq 60^{\circ}\)，\(\angle C\geqq 60^{\circ}\)となる．
よって，\(\angle A\leqq\angle B\leqq\angle C\)なので，\(a\leqq b\leqq c\)
余弦定理より，\(a^2+c^2-2ac\cos60^{\circ}=b^2\)\(\Leftrightarrow\)\((a+b)^2+ac=b^2\)\(\Leftrightarrow\)\((b+a-c)(b-a+c)=ac\)
ここで三角不等式より，\(b+a>c\),\(b+c>a\)\(\cdots(A)\)
また\(a\leqq c\)より，\(b+a-c\leqq b-a+c\)\(\cdots(B)\)である．
ここで，\(a,c\)は素数であることと，\((A),(B)\)から，組み合わせは\((b+a-c,b-a+c)\)\(=(1,ac),(a,c)\)である．
\((1)\) \((b+a-c,b-a+c)\)\(=(1,ac)\)の時，\(b\)を消去して，式変形すると，\((a-2)(c+2)=-3\)
これを満たす素数\(a,c\)は存在しない．
\((2)\) \((b+a-c,b-a+c)\)\(=(a,c)\)の時，\(a=b=c\)となる．
以上より，全ての辺の長さが等しいことから，三角形\(ABC\)は正三角形となる．
②角度で示す．
\(a,c\)の対称性より，\(a\leqq c\)と考えてよい．さらに\(a\leqq c\)より，\(\angle A\leqq\angle C\)
また，\(\angle A+\angle C=120^{\circ}\)で，\(\angle 2A\leqq \angle A+\angle C\leqq \angle 2C\)より，\(\angle A\leqq 60^{\circ}\)，\(\angle C\geqq 60^{\circ}\)となる．
ここで，\(\angle A<60^{\circ}\)の時，\(\angle C>60^{\circ}\)より，\(\angle A<\angle B<\angle C\)なので，\(a<b<c\)となる．
また三角不等式より，\(a+b>c\)\(\Leftrightarrow\)\(c-b<a\)
また三角不等式より，\(b+c>a\)で\(a<b<c\)より，\(b+c<2a\)
また余弦定理より，\(a^2+c^2-2ac\cos60^{\circ}=b^2\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2+c^2-ac=b^2\)\(\Leftrightarrow\)\(a(c-a)=(c+b)(c-b)\)
ここで\(a\)が素数なので，\(c+b\)もしくは\(c-b\)に\(a\)の因数を持つ必要があるが，\(c-b<a\)，\(a<b+c<2a\)となるため，\(a\)の因数を持たない．
よって，\(\angle A<60^{\circ}\)は成立しない．
よって，残りの\(\angle A=60^{\circ}\)が答えとなり，この時\(\angle C=60^{\circ}\)となる，
よって全ての角度が等しいことから，三角形\(ABC\)は正三角形となる．