上級者
数学A：整数
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ヒント：今回の整数問題は大小関係を考え，範囲を絞っていこう．
問題（オリジナル）
\(m,n,r,s\)を正の整数とする．\({}_{r}P_{s}+{}_{r}C_{s}=m!+n!\)が成立し，\(m,n,r,s\)を小さい順に並べた数列が公差1の等差数列である時，\(m,n,r,s\)を求めよ．
解答
まず各文字の大小関係を明確にする．
\(m,n\)は入れ替えても変わらないため，\(m>n\cdots(1)\)として考える．
また，右辺が正の整数であることから，\(r>s\cdots(2)\)は明らか．
ここで，\(m>r\cdots(3)\)の場合と\(r>m\cdots(4)\)の場合を考える．
（A）\((1),(2),(3)\)が成り立つ場合，①\(m>r>s>n\geqq 1\)，②\(m>r>n>s\geqq 1\)，③\(m>n>r>s\geqq 1\)の場合が考えられる．
ここで，\(f=m!+n!\)，\(g={}_{r}P_{s}+{}_{r}C_{s}\)\(=\displaystyle \frac{r!}{(r-s)!}+\frac{r!}{(r-s)!s!}\)と置くと，
\(f\)の最小値\(f_{min}\)は，①の\(n=m-3\)で，\(f>f_{min}=m!+(m-3)!\)
\(g\)の最大値\(g_{max}\)は，①の\(r=m-1\)，\(s=m-2\)で，\(g<g_{max}=(m-1)!+m-1\)
\(f_{min}-g_{max}\)\(=m!+(m-3)!-(m-1)!-(m-1)\)\(=(m-1){(m-1)!-1}+(m-3)\)
①，②，③より，\(m\geqq 4\)であるため，\(f_{min}-g_{max}>0\)
よって，常に\(f>g\)が成り立つため，(A)では解はない．
（B）\((1),(2),(4)\)が成り立つ場合で，
①\(r>s>m>n\geqq 1\)の場合，
\(s=r-1\)，\(m=r-2\)，\(n=r-3\)を元の式に代入すると，
\(r!+r=(r-2)!+(r-3)!\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle 1+\frac{1}{(r-1)!}\)\(=\displaystyle \frac{1}{r(r-1)}+\frac{1}{r(r-1)(r-2)}\)
ここで，\(a=r(r-1)\)，\(b=r(r-1)(r-2)\)と置くと，
\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)\(=\displaystyle 1+\frac{1}{(r-1)!}\)\(>1\)
さらに式変形すると，\((a-1)(b-1)<1\)
ここで，\(r>s>m>n\geqq 1\)であることから，\(4\leqq r\)
\(4\leqq r<a<b\)であるため，この不等式が成り立つ\(a,b\)は存在しない．
②\(r>m>s>n\geqq 1\)の場合，
\(m=r-1\)，\(s=r-2\)，\(n=r-3\)を元の式に代入すると，
\(\displaystyle \frac{r!}{2!}+\frac{r(r-1)}{2!}=(r-1)!+(r-3)!\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle 1+\frac{1}{(r-2)!}\)\(=\displaystyle \frac{2}{r}+\frac{2}{r(r-1)(r-2)}\)
ここで，\(a=r\)，\(b=r(r-1)(r-2)\)と置くと，
\(\displaystyle \frac{2}{a}+\frac{2}{b}\)\(=\displaystyle 1+\frac{1}{(r-2)!}\)\(>1\)
さらに式変形すると，\((a-2)(b-2)<4\)
\(4\leqq r\leqq a<b\)であるため，この不等式が成り立つ\(a,b\)は存在しない．
③\(r>m>n>s\geqq 1\)の場合，
\(m=r-1\)，\(n=r-2\)，\(s=r-3\)を元の式に代入すると，
\(\displaystyle \frac{r!}{3!}+\frac{r(r-1)(r-2)}{3!}=(r-1)!+(r-2)!\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle 1+\frac{1}{(r-3)!}\)\(=\displaystyle \frac{6}{r}+\frac{6}{r(r-1)}\)
ここで，\(a=r\)，\(b=r(r-1)\)と置くと，
\(\displaystyle \frac{6}{a}+\frac{6}{b}\)\(=\displaystyle 1+\frac{1}{(r-3)!}\)\(>1\)
さらに式変形すると，\((a-6)(b-6)<36\)
ここで，\(a<b\)より，\((a-6)^2\)\(<(a-6)(b-6)<36\)なので，\(a(a-12)<0\)\(\Leftrightarrow\)\(0<a<12\)
\(a=r\)が整数であることと，\(4\leqq r\)より，\(4\leqq r \leqq 11\)
・\(r=4\)の時，
\({}_{r}P_{r-3}+{}_{r}C_{r-3}\)\(=8\)
\((r-1)!+(r-2)!\)\(=8\)
・\(r=5\)の時，
\({}_{r}P_{r-3}+{}_{r}C_{r-3}\)\(=30\)
\((r-1)!+(r-2)!\)\(=30\)
・\(r=6\)の時，
\({}_{r}P_{r-3}+{}_{r}C_{r-3}\)\(=140\)
\((r-1)!+(r-2)!\)\(=144\)
・\(r=7\)の時，
\({}_{r}P_{r-3}+{}_{r}C_{r-3}\)\(=875\)
\((r-1)!+(r-2)!\)\(=840\)
・\(r=8\)の時，
\({}_{r}P_{r-3}+{}_{r}C_{r-3}\)\(=6776\)
\((r-1)!+(r-2)!\)\(=5760\)
・\(r=9\)の時，
\({}_{r}P_{r-3}+{}_{r}C_{r-3}\)\(=60564\)
\((r-1)!+(r-2)!\)\(=45360\)
・\(r=10\)の時，
\({}_{r}P_{r-3}+{}_{r}C_{r-3}\)\(=604920\)
\((r-1)!+(r-2)!\)\(=403200\)
・\(r=11\)の時，
\({}_{r}P_{r-3}+{}_{r}C_{r-3}\)\(=6652965\)
\((r-1)!+(r-2)!\)\(=3991680\)
以上より，\((m,n,r,s)\)\(=(3,2,4,1)\)，\((2,3,4,1)\)，\((4,3,5,2)\)，\((3,4,5,2)\)が答えとなる．