上級者
数学A：整数
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ヒント：考えうる全ての場合について，余弦定理で成り立つ式を作って，素数，整数の性質を使おう．今回は特に偶奇，正の整数を考えよう．
問題（オリジナル）
三角形の辺の長さが\(p\),\(p+2\),\(q\)で，いずれかの角度が\(60^{\circ}\)となる．\(p,q\)が素数の時，\(p,q\)を求めよ．
解答
\(AB=p\),\(BC=p+2\),\(CA=q\)と置く．
(A)\(\angle A=60^{\circ}\)の時，
余弦定理より，\(p^2+q^2-pq\)\(=(p+2)^2\)\(\Leftrightarrow\)\(q(q-p)\)\(=4(p+1)\)
\(q=2\)の時，\(2-p=2(p+1)\)で成立する\(p\)は存在しない．
\(q\neq 2\)の時，\(q\)は奇数なので，\(q-p=4a\)と置くと，\(qa=p+1\)となる（\(a\)は正の整数）．
\(p\)を消去すると，\(qa=q-4a+1\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle q=\frac{-4a+1}{a-1}\)
\(a\)は自然数なので，成立する\(q\)は存在しない．
(B)\(\angle B=60^{\circ}\)の時，
余弦定理より，\(p^2+(p+2)^2-p(p+2)\)\(=q^2\)\(\Leftrightarrow\)\((q+p)(q-p)\)\(=2(p+2)\)
\(p=2\)の時，\(q^2=12\)なので，成立する\(q\)は存在しない．
\(p\neq 2\)の時，\(p\)は奇数なので，\((q+p)(q-p)\)=2×奇数だが，\((q+p,q-p)\)は偶数，偶数もしくは奇数，奇数なので，成立する\(q\)は存在しない．
(C)\(\angle C=60^{\circ}\)の時，
余弦定理より，\(q^2+(p+2)^2-q(p+2)\)\(=p^2\)\(\Leftrightarrow\)\(q(p+2-q)\)\(=4(p+1)\)
\(q=2\)の時，\(p=2(p+1)\)で成立する\(p\)は存在しない．
\(q\neq 2\)の時，\(q\)は奇数なので，\(p+2-q=4a\)と置くと，\(qa=p+1\)となる（\(a\)は正の整数）．
\(p\)を消去すると，\(qa+1-q=4a\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle q=\frac{4a-1}{a-1}\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle q=4+\frac{3}{a-1}\)
これで成立する\(a\)は\(a=2,4\)で，それぞれ\((a,p,q)\)\(=(2,7,13)\),\((4,5,19)\)となる．
この中で三角形が成立するのは\((p,q)\)\(=(7,13)\)のみである．
（\((p,q)\)\(=(5,19)\)の時は，5+7<19で三角形として成り立たない）