上級者
数学A：整数
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ヒント：整数問題の基本的な解き方として，次の3点を利用する．①因数分解，②範囲を絞る，③倍数と余り
問題
(1)\(m,n\)を自然数とする．\(8^3+m^3=9^3-n^3\)を満たす時，\(m,n\)を求めよ．
(2)\(m,n\)を自然数とする．\(12^3-m^3=n^3-1^3\)を満たす時，\(m,n\)を求めよ．
解答
(1)\(m^3+n^3\)\(=9^3-8^3\)\(=217\)\(\Leftrightarrow\)\((m+n)(m^2-mn+n^2)\)\(=7\times31\)
ここで自然数の組み合わせは，\((m+n,m^2-mn+n^2)\)\(=(217,1)\),\((31,7)\),\((7,31)\),\((1,217)\)の4通りだが，さらに範囲を絞る．
ここで，\(m+n=a\),\(m^2-mn+n^2=b\)の\(a,b\)の条件を考える．
\(m^2-mn+n^2\)\(=(m+n)^2-3mn\)
これより，\(\displaystyle mn=\frac{a^2-b}{3}\)
ここで，\(m,n\)を解に持つ二次方程式は\(\displaystyle x^2-ax+\frac{a^2-b}{3}=0\)となる．
まずは実数解を持つ条件として，判別式\(\displaystyle D=a^2-4\frac{a^2-b}{3} \geqq 0\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2 \leqq 4b\)
さらに，\(m+n=a\geqq 2\)を満たす場合の\((m+n,m^2-mn+n^2)\)の組み合わせは，\((7,31)\)のみである．
よって，\((m+n,m^2-mn+n^2)\)\(=(7,31)\)の場合，
\(m+n=7\),\(mn=6\)で，\(m\)を消去すると\(m^2-7m+6=0\)で解は\(m=1,6\)
答えは，\((m,n)\)\(=(1,6)\),\((6,1)\)
(2)\(m^3+n^3\)\(=12^3+1^3\)\(=1729\)\(\Leftrightarrow\)\((m+n)(m^2-mn+n^2)\)\(=7\times13\times19\)
ここで自然数の組み合わせは，\((m+n,m^2-mn+n^2)\)\(=(1729,1)\),\((247,7)\),\((133,13)\),\((91,19)\),\((19,91)\),\((13,133)\),\((7,247)\),\((1,1729)\)の8通りだが，さらに範囲を絞る．
ここで，\(m+n=a\),\(m^2-mn+n^2=b\)の\(a,b\)の条件を考える．
\(m^2-mn+n^2\)\(=(m+n)^2-3mn\)
これより，\(\displaystyle mn=\frac{a^2-b}{3}\)
ここで，\(m,n\)を解に持つ二次方程式は\(\displaystyle x^2-ax+\frac{a^2-b}{3}=0\)となる．
まずは実数解を持つ条件として，判別式\(\displaystyle D=a^2-4\frac{a^2-b}{3} \geqq 0\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2 \leqq 4b\)
さらに，\(m+n=a\geqq 2\)を満たす場合の\((m+n,m^2-mn+n^2)\)の組み合わせは，\((19,91)\),\((13,133)\),\((7,247)\)である．
(i)\((m+n,m^2-mn+n^2)\)\(=(19,91)\)の場合，
\(m+n=19\),\(mn=90\)で，\(m\)を消去すると\(m^2-19m+90=0\)で解は\(m=9,10\)
答えは，\((m,n)\)\(=(9,10)\),\((10,9)\)
(ii)\((m+n,m^2-mn+n^2)\)\(=(13,133)\)の場合，
\(m+n=13\),\(mn=12\)で，\(m\)を消去すると\(m^2-13m+12=0\)で解は\(m=1,12\)
答えは，\((m,n)\)\(=(1,12)\),\((12,1)\)
(ii)\((m+n,m^2-mn+n^2)\)\(=(7,247)\)の場合，
\(m+n=7\),\(mn=-66\)で，\(m\)を消去すると\(m^2-7m-66=0\)で整数解は持たない．
以上より，\((m,n)\)\(=(9,10)\),\((10,9)\),\((1,12)\),\((12,1)\)が答えとなる．
※(1)(2)の解を見ると，\(728\)\(=6^3+8^3\)\(=9^3-1^3\)\(=12^3-10^3\)となるが，これは3番目のキャブタクシー数である．なお，\(n\)番目のキャブタクシー数とは，2つの立方数の和として\(n\)通りに表される最小の正の整数である．(Wikipedia)
参考入試問題
①2以上の整数\(m,n\)は\(m^3+1^3=n^3+10^3\)を満たす．\(m,n\)を求めよ．(2009一橋大学)
②\(a^3-b^3=65\)を満たす整数の組\((a,b)\)を全て求めよ．（2005京都大学）
③\(a^3-b^3=217\)を満たす整数の組\((a,b)\)を全て求めよ．（2005京都大学）
解答
①\(m^3-n^3\)\(=10^3-1^3\)\(=999\)\(\Leftrightarrow\)\((m-n)(m^2+mn+n^2)\)\(=3^3\times37\)
ここで，\(m^2+mn+n^2\)\(=(m-n)^2+3mn>0\)より，\(m-n>0\)
さらに，\(m-n\)が3の倍数でない場合，つまり，1もしくは37の場合，\(m^2+mn+n^2\)は\(3^3\)の因数を持つが，\(m^2+mn+n^2\)\(=(m-n)^2+3mn\)より，\(m^2+mn+n^2\)は3の倍数ではないという結果になり，矛盾する．
よって，\(m-n\)は3の倍数であり，さらに\(m^2+mn+n^2\)は3の倍数である．
(i)\((m-n,m^2+mn+n^2)\)\(=(3,333)\)の場合，
\(m\)を消去して整理すると，\((n+12)(n-9)=0\)
\(n\geqq 2\)より，\(n=9\)で\(m=12\)
(ii)\((m-n,m^2+mn+n^2)\)\(=(9,111)\)の場合，
\(m\)を消去して整理すると，\((n-1)(n+10)=0\)
\(n\geqq 2\)より，解はない．
以上より，\((m,n)\)\(=(12,9)\)が答えとなる．
※\(1729\)\(=12^3+1^3\)\(=10^3+9^3\)は2番目のタクシー数である．
\(n\)番目のタクシー数とは，2つの正の立方数の和として\(n\)通りに表される最小の正の整数である．(Wikipedia)
この数については，イギリスの数学者ハーディとインドの数学者ラマヌジャンの逸話がある．気になる方は調べてみよう．
②\(a^3-b^3=65\)\(\Leftrightarrow\)\((a-b)(a^2+ab+b^2)\)\(=5\times13\)
ここで，\(a^2+ab+b^2\)\(\displaystyle =(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2>0\)より，\(a-b>0\)
よって，\((a-b,a^2+ab+b^2)\)の組み合わせは，\((65,1)\),\((13,5)\),\((5,13)\),\((1,65)\)である．
(i)\((a-b,a^2+ab+b^2)\)\(=(65,1)\)の場合，
\((a-b)^2+3ab=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle ab=\frac{1-65^2}{3}\)\(=-64\times22\)で，\(a,-b\)を解に持つ二次方程式は\(t^2-65t+64\times22=0\)
この方程式は実数解を持たない．
(ii)\((a-b,a^2+ab+b^2)\)\(=(13,5)\)の場合，
\((a-b)^2+3ab=5\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle ab=\frac{5-13^2}{3}\)\(\displaystyle =-\frac{164}{3}\)で，\(a,b\)は整数解を持たない．
(iii)\((a-b,a^2+ab+b^2)\)\(=(5,13)\)の場合，
\((a-b)^2+3ab=13\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle ab=\frac{13-5^2}{3}\)\(\displaystyle =-4\)で，\(a-b=5\)と合わせると，答えは，\((a,b)\)\(=(1,-4)\),\((4,-1)\)
(iiii)\((a-b,a^2+ab+b^2)\)\(=(1,65)\)の場合，
\((a-b)^2+3ab=65\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle ab=\frac{65-1}{3}\)\(\displaystyle =\frac{64}{3}\)で，\(a,b\)は整数解を持たない．
以上より答えは，\((a,b)\)\(=(1,-4)\),\((4,-1)\)
③\(a^3-b^3=217\)\(\Leftrightarrow\)\((a-b)(a^2+ab+b^2)\)\(=7\times31\)
よって，\((a-b,a^2+ab+b^2)\)の組み合わせは，\((217,1)\),\((31,7)\),\((7,31)\),\((1,217)\)である．
(i)\((a-b,a^2+ab+b^2)\)\(=(217,1)\)の場合，
\((a-b)^2+3ab=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle ab=\frac{1-217^2}{3}\)\(=-72\times218\)で，\(a,-b\)を解に持つ二次方程式は\(t^2-217t+72\times218=0\)
この方程式は実数解を持たない．
(ii)\((a-b,a^2+ab+b^2)\)\(=(31,7)\)の場合，
\((a-b)^2+3ab=7\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle ab=\frac{7-31^2}{3}\)\(=-318\)で，\(a,-b\)を解に持つ二次方程式は\(t^2-31t+318=0\)
この方程式は実数解を持たない．
(iii)\((a-b,a^2+ab+b^2)\)\(=(7,31)\)の場合，
\((a-b)^2+3ab=31\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle ab=\frac{31-7^2}{3}\)\(=-6\)で，\(a-b=7\)と合わせると，答えは，\((a,b)\)\(=(1,-6)\),\((6,-1)\)
(iiii)\((a-b,a^2+ab+b^2)\)\(=(1,217)\)の場合，
\((a-b)^2+3ab=217\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle ab=\frac{217-1}{3}\)\(=72\)で，\(a-b=1\)と合わせると，答えは，\((a,b)\)\(=(-8,-9)\),\((9,8)\)
以上より答えは，\((a,b)\)\(=(1,-6)\),\((6,-1)\),\((-8,-9)\),\((9,8)\)