MATH

ヒント：倍数，余りを考えよう．自然数は，\(a\)をある倍数として，\(ak+1,…,ak+(a−1),ak+a,~~(k≧0)\)と表現できる．

問題

\(p,q\)を素数とする．\(pq+1\)と\(p^{2}+q^{2}-2\)が素数となるとき，\((p,q)\)を求めよ．ただし，\(p>q\)とする．（オリジナル）

まず，素数となるには2のみが偶数となる．これを利用しよう．さらに，わかりにくいので具体的に値を入れてみる．

解答

まず，\(pq+1\)が素数となるにはこれは奇数とならなければならない．よって，\(pq\)は偶数となるが，\(p>q\)より，\(q=2\)

ここで，\(p=3t(t≧1)\)のとき，\(p\)は素数より，\(p=3\)のみが成り立つ．よって，このときは\(pq+1=7\)，\(p^{2}+q^{2}-2=11\)となるので，これは解の1つとなる．

次に\(p=3t+1\)のとき，\(pq+1=2\times(3t+1)+1=3(2t+1)\)となり，素数ではないので不適．

また\(p=3t+2\)のとき，\(p^{2}+q^{2}-2=(3t+2)^{2}+2^{2}-2=3(3t^{2}+4t+2)\)となり，素数ではないので不適．

以上より，\((p,q)=(3,2)\)

参考入試問題

２以上の自然数\(n\)に対し，\(n\)と\(n^{2}+2\)がともに素数となるのは\(n=3\)の場合に限ることを示せ．（０６京大）

よくわからない問題は具体的に調べてみよう．素数は約数が1かその数自体しかないということに注目せよ．

解答

\(n=2\)　\(2,~6=2×3\)

\(n=3\)　\(3,~11\)

\(n=4\)　\(4,~18=2×3×3\)

\(n=5\)　\(5,~27=3×3×3\)

…

予想として，\(n=3\)のみが成り立ちそれ以外は3の倍数が出てきそう．

\(n=3k−1,3k,3k+1\)として分けて考える．\((k≧1)\)

\(n=3k\pm1\)のとき，

\(n^{2}+2=(3k\pm 1)^{2}+2=3(3k^{2}\pm 2k+1)\)で\(3k^{2}\pm 2k+1>1\)なので，これは素数ではない．

\(n=3k\)のとき，

\(k=1\)の時にしか\(n=3k\)が素数とならない．また，\(k=1\)のとき，\(n^{2}+2=11\)なので，\(n=3\)の時にしか\(n\)と\(n^{2}+2\)がともに素数とならない．