上級者
数学A：整数
-
ヒント：1．整数問題でよく分からない場合は，まずは具体的な値を与えて規則性や答えを見つけよう．
2．倍数を考えよう．今回の場合は偶奇で範囲を絞ることができる．自然数は，\(a\)をある倍数として，\(ak+1,…,ak+(a−1),ak+a,~~(k≧0)\)と表現できる．
問題
（１）\(n^{m}-n!=2\cdots①\)が成り立つ自然数\(m,n\)を求めよ．（オリジナル）
（２）\(p,q\)は\(q>p\)となる素数である時，\(n^{q}-n!=p\cdots②\)が成り立つ自然数\(n\)は存在しないことを示せ．（オリジナル）
解答
（１）\(n^{m}-n!=2 \Leftrightarrow n(n^{m-1}-(n-1)!)=2\)
ここで，\(n,m\)は自然数より，\(n,n^{m-1}-(n-1)!\)は自然数．
よって，\(n=1,2\)のみ成立する．
\(n=1\)の時，①式の左辺は0となるため不適．
\(n=2\)の時，\(①\Leftrightarrow 2^{m}-2!=2\)より，\(m=2\)
以上より，答えは\((m,n)=(2,2\))
（２）
\(n^{q}-n!=p \Leftrightarrow n(n^{q-1}-(n-1)!)=p\)
\(p\)は素数より，\(n=1,p\)のみ成立する．
\(n=1\)の時，（１）と同じく不適．
\(n=p\)の時，\(p^{q-1}-(p-1)!=1\)
ここで，\(q\)は素数，\(q>p\)より\(p,q\)は互いに素であることから，フェルマの小定理より，\(p^{q-1}\equiv 1(\mod q)\)
ここで\(q>p\)より，\((p-1)!\)の中に\(q\)の因数は存在しない．
よって，\(p^{q-1}-(p-1)!=1\)は成立しない．
以上より，題意は示された．
※ちなみに，\(n^{m}-n!=n\)が成り立つ自然数\(m,n\)として，
\((m,n)=(2,2),(2,3),(3,5)\)は存在するが，他に存在するか不明．