上級者
数学A：整数
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ヒント：1．整数問題は因数分解できるか確認しよう．2．不等式を作って範囲を絞る．
問題
\(a^{4}+4b^{4}=pq\)で，\(a,b\)は自然数，\(p,q\)は\(p<q\)となる素数の時，\(p\)が最小となる場合の\(a,b,p,q\)の値を求めよ．(オリジナル)
今回の問題は因数分解も難しい，不等式も自分で作らなくていけない．適切に範囲を絞っていかないと，パターンが多くなりすぎて，抜け漏れが起きる可能性が高くなる．また問題を解くのに時間がかかりすぎてしまう．
解答
ここで，\(a^{2}+2ab+2b^{2} > a^{2}-2ab+2b^{2}\)なので，考えうるパターンは，
(1) \(a^{2}+2ab+2b^{2}=pq\), \(a^{2}-2ab+2b^{2}=1\) もしくは (2) \(a^{2}+2ab+2b^{2}=q\), \(a^{2}-2ab+2b^{2}=p\)
(1)の時，\(a^{2}-2ab+2b^{2}=(a-b)^{2}+b^{2}=1\)が成立するには,\(a=b,~b=1\)
よって，\(a^{2}+2ab+2b^{2}=5=pq\)なので，適する\(p,q\)は存在しない．
(2)の時，\(a^{2}+2ab+2b^{2}=q\cdots\)①, \(a^{2}-2ab+2b^{2}=p\cdots\)②
①＋②より，\(p+q=2(a^{2}+2b^{2})\cdots\)③ また①‐②より，\(p-q=4ab\cdots\)④
ここで，\((a-\sqrt{2}b)^{2}=a^{2}+2b^{2}-2\sqrt{2}ab \geqq 0\)
③，④を代入して整理すると，\((\sqrt{2}+1)^{2}p \geqq q\)
条件の\(p<q\)と合わせて，\(p<q \leqq (\sqrt{2}+1)^{2}p\cdots\)⑤
(i) \(p=3\)の時，⑤を満たす\(q\)は\(q=5,7,11,13,17\)
さらに④を満たす\(q\)は\(q=7,11\)
\((p,q)=(3,7)\)の時，③，④に代入して，\(a^{2}+2b^{2}=5,~ab=1\)
これを満たす\(a,b\)は存在しない．
\((p,q)=(3,11)\)の時，③，④に代入して，\(a^{2}+2b^{2}=7,~ab=2\)
これを満たす\(a,b\)は存在しない．
(ii)\(p=5\)の時，⑤を満たす\(q\)は\(q=7,11,13,17,19,23,27,29\)
さらに④を満たす\(q\)は\(q=13,17,29\)
\((p,q)=(5,13)\)の時，③，④に代入して，\(a^{2}+2b^{2}=9,~ab=2\)
これを満たす\(a,b\)は\((a,b)=(1,2)\)
\((p,q)=(5,17)\)の時，③，④に代入して，\(a^{2}+2b^{2}=11,~ab=3\)
これを満たす\(a,b\)は\((a,b)=(3,1)\)
\((p,q)=(5,29)\)の時，③，④に代入して，\(a^{2}+2b^{2}=17,~ab=6\)
これを満たす\(a,b\)は\((a,b)=(3,2)\)
以上より，答えは\((a,b,p,q)=(1,2,5,13),(3,1,5,17),(3,2,5,29)\)
別解
(2)の時，\(a^{2}+2ab+2b^{2}=q\cdots\)①, \(a^{2}-2ab+2b^{2}=p\cdots\)②
で，\(a^{2}-2ab+2b^{2}=(a-b)^{2}+b^{2}=p\cdots\)③
\(p\)を小さい値から代入して，成立する\(a,b,q\)を確認していけばよい．
\(p=2\)の時，③より\((a-b)=\pm 1, b=1\)
また\(a,b\)が自然数より，\((a,b)=(2,1)\)
\(a^{2}+2ab+2b^{2}=10\)より素数でないため不適．
\(p=3\)の時，③を満たす\(a,b\)は存在しない．
\(p=5\)の時，③より\((a-b)=\pm 2, b=1\) or \((a-b)=\pm 1, b=2\)
また\(a,b\)が自然数より，\((a,b)=(3,1),(3,2),(1,2)\)
\((a,b)=(3,1)\)の時，\(a^{2}+2ab+2b^{2}=17\)より，素数となる．
\((a,b)=(3,2)\)の時，\(a^{2}+2ab+2b^{2}=29\)より，素数となる．
\((a,b)=(1,2)\)の時，\(a^{2}+2ab+2b^{2}=13\)より，素数となる．
以上より，答えは\((a,b,p,q)=(1,2,5,13),(3,1,5,17),(3,2,5,29)\)
※なお\(q\)が最小となる場合は，\((a,b,p,q)=(1,2,5,13)\)である．考えてみよう．