上級者
数学A：整数
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ヒント：1．整数問題は因数分解できるか確認しよう．2．不等式を作って範囲を絞る．
問題
\(a^{3}+b^{3}=pq\)で，\(a,b\)は自然数，\(p,q\)は\(p\neq q\)の素数の時，最小となる\(pq\)の値を求めよ．(オリジナル)
今回の問題は不等式を自分で作らなくていけない．今回は対称式であることに注目して，範囲を絞ろう．
解答
ここで(1)\(a+b=pq,~a^{2}-ab+b^{2}=1\)もしくは，(2)\(a+b=p,~a^{2}-ab+b^{2}=q\)が考えられる．
(1)の場合，\(a^{2}-ab+b^{2}=1\)が成立する\(a,b\)は\((a,b)=(1,1)\)のみ．
しかし，\(a+b=2=pq\)が成り立つ素数\(p,q\)は存在しない．
(2)の場合，\(a+b=p\cdots\)①, \(a^{2}-ab+b^{2}=q\cdots\)②
ここで②を変形して，\((a+b)^{2}-3ab=q\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle ab=\frac{p^{2}-q}{3}\cdots\)③
ここで，二次関数\(f(t)=(t-a)(t-b)\)\(=t^2-(a+b)t+ab\)\(=\displaystyle t^{2}-pt+\frac{p^{2}-q}{3}\)を考える．
\(f(t)=0\)の時に，\(t\)が1以上の解を持つ条件は次の通り．
\(f(1)>0\), \(軸>1\), \(最小値 \leqq 0\) （判別式\(D \geqq 0\)）
式変形をすると，\(p^{2}-3p+3 \geqq q \cdots\)④，\(\displaystyle p>2\cdots\)⑤，\(p^{2}<4q\cdots\)⑥
ここで⑤を考慮した上で，\(p\)を小さい順番に当てはめていく．
\(p=3\)の時，④より\(3 \geqq q\)，⑥より\(9<4q\)
よって，\(q=3\)のみ成り立つ．なお，\(p\neq q\)のため，これは当てはまらない．
次に，\(p=5\)の時，④より\(13 \geqq q\)，⑥より\(25<4q\)
よって，\(q=7,11,13\)のみ成り立つ．
\(q=7\)の時，①，③に当てはめると，\(a+b=5\), \(\displaystyle ab=6\)
これは\((a,b)=(2,3),(3,2)\)が成り立つ．よって，最小となる\(pq\)は35が答え