上級者
数学A：整数
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ヒント：今回の整数問題は因数分解で条件を絞っていこう．
問題
\(f(x)=x^3+ax^2+bx+p\)において，\(a,b\)が整数，\(p\)が素数とする．
(1)\(a,b\)は\(b=ka\) \(\left(\displaystyle 1<k \leqq\frac{3}{2}\right)\)を満たすとする．\(f(x)=0\)がただ1つの解を持ち，それが整数解の時，\(a,b,p\)を求めよ．
(2)(1)の条件を満たし，直線が\(y=f(x)\)と接し，\(f(x)=0\)の整数解を通るとき，直線と\(f(x)\)で囲まれる面積を求めよ．(オリジナル)
解答
(1)
\(f(x)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x(x^2+ax+b)=-p\)
素数\(p\)の因数は，\(\pm p, \pm 1\)であり，\(x\)が整数解を持ち，その時の\(x^2+ax+b\)が整数であるため，\(x=\pm 1,\pm p\)の4パターンを考えればよい．
ここで，\(f(x)=0\) を次のように式を変形する．\((x+1)(x^2+cx+p)=0\)\(\cdots\)①
\((x+p)(x^2+cx+1)=0\)\(\cdots\)②
\((x-1)(x^2+cx-p)=0\)\(\cdots\)③\((x-p)(x^2+cx-1)=0\)\(\cdots\)④
ここで，2次式の判別式\(D\)を考えると，③，④は必ず\(D\geqq0\)となるため，整式がただ1つの解を持つことに反する．よって，①，②の場合を考える．
①の時，判別式\(D=c^2-4p<0\cdots\)(*)
また①を展開して係数を比較すると，\(a=c+1\), \(b=c+p\)
ここで\(b=ka\)より，\(k(c+1)=c+p\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle (k-1)c=p-k\)
*の不等式に\((k-1)^2\)をかけて，上式を代入すると，\((p-k)^2-4p(k-1)^2<0\) \(\Leftrightarrow\) \((1-4p)k^2+6pk+p(p-4)<0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle k^2-\frac{6}{4p-1}k-\frac{p(p-4)}{4p-1}>0\)
ここで，\(f(k)=\displaystyle k^2-\frac{6}{4p-1}k-\frac{p(p-4)}{4p-1}\)と置く．\(\left(\displaystyle 1<k \leqq\frac{3}{2}\right)\)
\(f(k)=\displaystyle \left(k-\frac{3p}{4p-1}\right)^2-4\frac{p(p-1)^2}{(4p-1)^2}\)
まず，2次関数で\(\displaystyle 1<k \leqq \frac{3}{2}\)で実数解を持つ条件は，
\(f(1) > 0\) or \(\displaystyle f\left(\frac{3}{2}\right) \geqq 0\)
こちらは，\(f(1)=\displaystyle \frac{(p-1)^2}{1-4p}<0\)なので，こちらは解がない．
一方，\(\displaystyle f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{p^2-4p+\frac{9}{4}}{1-4p} \geqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle p^2-4p+\frac{9}{4}\leqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle 2-\frac{3\sqrt{2}}{2} \leqq p \leqq 2+\frac{3\sqrt{2}}{2} \)
\(p\)は素数より，\(p=2,3\)
\(p=2\)の時，判別式\(D=c^2-4p<0\)より，\(c=0, \pm 1, \pm 2\)
ここで，\((k-1)c=2-k\)，\(\displaystyle 1<k \leqq\frac{3}{2}\)を満たす\(c,k\)は，\(\displaystyle c=1, k=\frac{3}{2}\)
よって，\(a=c+1=2\), \(b=c+p=3\)
\(p=3\)の時，判別式\(D=c^2-4p<0\)より，\(c=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\)
ここで，\((k-1)c=3-k\)，\(\displaystyle 1<k \leqq\frac{3}{2}\)を満たす\(c,k\)は，\(\displaystyle c=3, k=\frac{3}{2}\)
よって，\(a=c+1=4\), \(b=c+p=6\)
②の時，判別式\(D=c^2-4<0\) \(\Leftrightarrow\) \(c=-1,0,1\)
また①を展開して係数を比較すると，\(a=c+p\),\(b=cp+1\)
ここで\(b=ka\)より，\(k(c+p)=cp+1\)
\(c=-1\)の時，\(k=-1\)なので，\(k\)の条件を満たさない．
\(c=1\)の時，\(k=1\)なので，\(k\)の条件を満たさない．
\(c=0\)の時，\(kp=1\)なので，\(k\)の条件を満たさない．
以上より，\((a,b,p)=(2,3,2),(4,6,3)\)が答えになる．
(2)
※面積を\(S\)，三次関数のと直線の接線の\(x\)座標を\(\alpha\)，三次関数のと直線が交わる点の\(x\)座標を\(\beta\)と置くと，次の式が成立する．
\(\displaystyle S=\left|a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)dx \right|\)\(=\displaystyle \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\)
(証明は各自でやってみよう．ネットで”3次関数 接線 面積”)で検索すれば出てくると思います．）
ここで，\(f(x)\)と直線の接線の\(x\)座標を\(t\)と置くと，求める面積\(S\)は\(\displaystyle S=\frac{1}{12}(t+1)^4\)である．
ここで直線を\(g(x)=d(x+1)\)と置くと，\(f(x)-g(x)=0\) \(\Leftrightarrow\) \((x+1)(x^2+cx+p-d)=0\)\(\Leftrightarrow\) \((x+1)(x-t)^2=0\)
よって係数比較をすると，\(c=-2t\), \(p-d=t^2\)
よって，\(\displaystyle S=\frac{1}{12}\left(1-\frac{c}{2}\right)^4\)であるため，\(c\)の最小値を求めればよい．
ここで(1)より，\(c=1,3\)
両方とも，面積\(S\)は，\(\displaystyle S=\frac{1}{192}\)．
※通常，接線問題は曲線\(f(x)\)の接点\(x=t\)から接線\(f'(t)\)を求めて，直線を\(y=f'(t)(x-t)+f(t)\)と置くが，この問題は通る点が決まっているため，直線の傾きを文字において計算するほうが簡単になる．試しに今回の問題を接線から計算してみると，かなり煩雑になる．試してみよう．）
参考入試問題
\(a,b\)を整数とする．3次方程式\(x^{3}+ax^{2}+bx-1=0\)は3つの実数解\(\alpha,\beta,\gamma\)を持ち，\(0<\alpha<\beta<\gamma<3\)で\(\alpha,\beta,\gamma\)のうちどれかは整数ある．\(a,b\)の値を求めよ．（2001前期一橋大）
解答
整数を\(k\)とすると
\(k^{3}+ak^{2}+bk-1=0\) \(Leftrightarrow\) \(k(k^{2}+ak+b)=1\)
\(k,k^{2}+ak+b\)は整数なので，\(k=1(>0)\)
よって\(k=1\)を代入すると，
\(a+b=0\)
ここで，\(x^{3}+ax^{2}-ax-1\)\(=(x-1)(x^{2}+(a+1)x+1)\)において，
\(x^{2}+(a+1)x+1=0\)が\(0<x<3\)で二つの実数解をもつには，
\(f(x)=x^{2}+(a+1)x+1\)とおくと，
\(f(0)>0\), \(f(3)>0\), \(D>0\), \(3>-\displaystyle \frac{a+1}{2}>0\)
以上より\(3a+13>0\), \(a^{2}+2a-3=(a-1)(a+3)>0\), \(6>-(a+1)>0\)
\(a\)は整数なので，\(a=−4\)
また，\(b=4\)となる．