上級者
数学A：整数
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ヒント：ガウス記号\([x]\)に関する問題は範囲を使い，整数\([x]\)や\(x\)がどの範囲に入るかを求める．
問題
\([x]\)は\(x\)を超えない最大の整数を意味する．次の式を満たす\(x,y\)を求めよ．(オリジナル）
\(\displaystyle x+[y]=\frac{7}{5}\cdots\)①
\(\displaystyle \left[\frac{1}{x}\right]+\frac{1}{y}=\frac{13}{5}\cdots\)②
解答
\(x>0\)の時，①より，\(\displaystyle x=\frac{7}{5}-[y]>0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle [y]<\frac{7}{5}\cdots\)③
②より，\(\displaystyle \left[\frac{1}{x}\right]=\frac{13}{5}-\frac{1}{y}\geqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{1}{y}\leqq \frac{13}{5}\)
\(y>0\)の時，\(\displaystyle y \geqq \frac{5}{13}\cdots\)④
③，④より，\([y]=1\)
この時①より，\(\displaystyle x=\frac{2}{5}\)
これを②に代入して整理すると，\(\displaystyle y=\frac{5}{3}\)
\(y<0\)の時，\(\displaystyle y \leqq \frac{5}{13}\)で範囲を絞れないので，\(x\)の範囲を絞る．
①より，\(\displaystyle [y]=\frac{7}{5}-x \leqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle x \geqq \frac{7}{5}\cdots\)⑤
②，⑤より，\(\displaystyle \left[\frac{1}{x}\right]=\frac{13}{5}-\frac{1}{y}\leqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{1}{y}\geqq \frac{13}{5}\) これは\(y>0\)なので，解はない．
一方で\(x<0\)の時，①より，\(\displaystyle x=\frac{7}{5}-[y]<0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle [y]>\frac{7}{5}\)
②より，\(\displaystyle \left[\frac{1}{x}\right]=\frac{13}{5}-\frac{1}{y}\leqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{1}{y}\geqq \frac{13}{5}\)
これを満たす\(y\)は存在しない．
よって答えは，\(\displaystyle x=\frac{2}{5}\)，\(\displaystyle y=\frac{5}{3}\)
参考入試問題
次の関係を満たす有理数\(\alpha\)の個数を求めよ．
\(\displaystyle \frac{4}{3}\left\{\frac{1}{\alpha}-\left[\frac{1}{\alpha}\right]\right\}=\alpha\) \((0<\alpha<1)\)
\([\alpha]\)は\(\alpha\)を超えない最大の整数を意味する．(92自治医大）
まず有理数ということで，\(\displaystyle \alpha=\frac{m}{n}\)（\(m,n\)は互いに素）とおく．そこから，うまい具合に互いに素ということを使っていくと･･･
解答
\(\displaystyle \alpha=\frac{m}{n}\)（\(m,n\)は互いに素な自然数）とおくと，
\(\displaystyle \frac{4}{3}\left\{\frac{n}{m}-\left[\frac{n}{m}\right]\right\}=\frac{m}{n}\) \((\displaystyle 0<\frac{m}{n}<1)\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle 4n\left\{n-m\left[\frac{n}{m}\right]\right\}=3m^{2}\cdots\)①
※ここで次のことを思い出しておこう．
問
\(\sqrt{2}\)が無理数であることを証明せよ．
答え
\(\sqrt{2}\)が有理数であると仮定すると，\(\displaystyle \sqrt{2}=\frac{m}{n}\)（\(m,n\)は互いに素な自然数）とおける．二乗して変形すると，
\(2n^{2}=m^{2}\) \(m,n\)は互いに素なので，\(m=2m'\)とおける．
∴\(n^{2}=2m'^{2}\)
\(m,n\)は互いに素なので，\(m',n\)も互いに素．よって\(n=2n'\)とおける．
しかし，\(m\)と\(n\)が2の倍数となり互いに素であることに矛盾する．よって，\(\sqrt{2}\)は無理数である．
以上のようなことをやっていけばよい．
\(m,n\)は互いに素より，\(n=3n'\)とおける．変形して，
\(4n'\displaystyle \left\{n-m\left[\frac{n}{m}\right]\right\}=m^{2}\)
\(n',m\)についてみると互いに素なので，結局\(n'=1\)となる．
∴\(n=3\)
よって，\(0<\displaystyle \frac{m}{n}<1\)（\(m,n\)は互いに素な自然数）から，\(m\)は1と2しかとらない．
\(m=1\)のときは，\(n-m\left[\displaystyle \frac{n}{m}\right]=0\)より不適．
\(m=2\)のときは確かにはじめの式を満たす．
よって答えは1個しかない．