MATH

ヒント：整数問題の基本的な解き方を学ぼう．(1)因数分解を行い，等式の片方を整数or素数の形にする．(2)不等式で範囲を絞ろう

問題

（１）\(xy-3x-2y+4=0\)を満たす自然数\(x,y\)を求めよ．

（２）\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1,a<b<c\)を満たす自然数\(a,b,c\)を求めよ．(有名問題)

解答

（１）

\(xy-3x-2y+4=0\Leftrightarrow (x-2)(y-3)=2\)

ここで，\(2=\pm 1\times \pm 2\)より，組み合わせは次の通り．

\((x-2,y-3)=(1,2),(2,1),(-1,-2)(-2,-1)\) \(\Leftrightarrow\) \((x,y)=(3,5),(4,4),(1,1),(0,2)\)

なお，\(x,y\)は自然数なので，答えは，\((x,y)=(3,5),(4,4),(1,1)\)

（２）

\(a<b<c\) ⇔ \(\displaystyle \frac{1}{a}>\frac{1}{b}>\frac{1}{c}\)となる．よって\(1=\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<\frac{3}{a}\)

\(a\)は自然数より，\(a=1,2\)

①\(a=1\)の時は，\(1+\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) 当てはまる\(b,c\)がないため不適．

②\(a=2\)の時は，\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) ⇔ \(\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<\frac{2}{b}\)　よって\(b=2,3\)

\(b=2\)は当てはまる\(c\)がないため不適．\(b=3\)のとき，\(c=6\)となる．

よって求める答えは\((a,b,c)=(2,3,6)\)

参考入試問題

\(0<x≦y≦z\)である整数\(x,y,z\)について
(ｱ)\(xyz=x+y+z=xy+yz+zx+5\)を満たす整数\(x,y,z\)をすべて求めよ。
(ｲ)\(xyz=x+y+z\)を満たす整数\(x,y,z\)をすべて求めよ。(02同志社大)

解答
(\(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+x+y+z−1\)…①
(ｱ)
①と与えられた式から\((x−1)(y−1)(z−1)=4\)
\((x−1,y−1,z−1)=(1,2,2)(1,4,4)⇔(x,y,z)=(2,3,3)(2,2,5)\)

(ｲ)
\(xyz=x+y+z≦3z\)
\(∴xy≦3\)
1)\((x,y)=(1,1)\)のとき
もとの式は\(z=2+z\)となり不適。

2)\((x,y)=(1,2)\)のとき
もとの式に代入すると\(2z=3+z\)となる。よって\(z=3\)
これは与えられた不等式を満たす。

3)\((x,y)=(1,3)\)のとき
もとの式に代入すると\(3z=4+z\)となる。よって\(z=2\)
これは与えられた不等式を満たさないので不適。

以上から\((x,y,z)=(1,2,3)\)