中級者
数学A：整数
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ヒント：自然数は，\(a\)をある倍数として，\(ak+1,…,ak+(a−1),ak+a,~~(k≧0)\)と表現できる．
問題
2，3を除く素数\(p\)について，\(p^{2}-1\)は24で割りきれることを示せ．
解答
まず，素数についてどのように式で表せるか示す．
\(p=5,7,11,13,17\cdots\)となる．
どうやら\(p=6k+1,6k−1\)となりそうである．(\(k\)は自然数)
ここで，\(6k,6k+2,6k+3,6k+4\)について，それぞれ因数を持つので素数になりえない．
(\(6k\)は6の倍数，\(6k+2\)は2の倍数，\(6k+3\)は3の倍数，\(6k+4\)は2の倍数)
よって\(p=6k+1,6k−1\)とおける．
\(p^{2}-1=(6k\pm 1)^{2}-1=36k^{2}\pm 12k=12k(3k\pm 1)\)
ここで，\(k(3k\pm 1)\)について，\(m\)を自然数とすると，\(k=2m\)の時，\(k(3k\pm 1)=2m(6k\pm 1)\)なので，2の倍数である．
また，\(k=2m-1\)の時，\(k(3k\pm 1)=(2m-1)(6m-3 \pm 1)=2(2m-1)(3m-1)\) or \(2(2m-1)(3m-2)\)なので，2の倍数である．
よって2，3を除く素数\(p\)は\(p^{2}-1\)は24で割り切れる．
参考入試問題
(1)\(n\)を自然数とする．このとき，\(n^{2}\)を4で割った余りは0または1であることを示せ．
(2)3つの自然数\(a,b,c\)が\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)を満たしている．このとき，\(a,b\)の少なくとも一方は偶数であることを証明せよ．(01千葉大)
解答
(1)\(n=2k\)のとき\(n^{2}=4k^{2}\)より，4で割ると余りは0となる．
\(n=2k+1\)のとき\(n^{2}=4(k^{2}+k)+1\)より，4で割ると余りは1となる．
(2)
(1)を利用する．4で割ったときの余りについて注目する．
①\(c^{2}\)を4で割った余りが0のとき
\(a^{2},b^{2}\)ともに4で割った余りが0でなくてはならない．これは(1)より\(a,b\)は偶数である．
②\(c^{2}\)を4で割った余りが1のとき
\(a^{2},b^{2}\)を4で割った余りは一方が0，もう一方が1でないといけないので(1)より\(a,b\)の一方が偶数である．