中級者
数学A：整数
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ヒント：1．整数問題は因数分解できるか確認しよう．2．不等式を作って範囲を絞る．
問題
\(a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=p\)で，\(a,b\)は自然数，\(p\)は素数の時，\(p\)の値を求めよ．(オリジナル)
解答
ここで\(p\)は素数より，因数は1 or \(p\)である．
また，\(a,b\)は自然数(1以上)より，\(a^{2}+ab+b^{2}\geqq 3\)
よって，\(a^{2}+ab+b^{2}=p\cdots\)①, \(a^{2}-ab+b^{2}=1\cdots\)②
ここで，不等式を使い範囲を絞る．
(1)の方法 解と係数の関係を使い，判別式の不等式を作る．
①－②から，\(\displaystyle ab=\frac{p-1}{2}\cdots\)③
また，③を①に代入して，\(a+b\)を求めると，
\(a+b=\displaystyle \sqrt{\frac{3p-1}{2}}\)
ここで，\(a,b\)を解に持つ2次方程式は次の通り．
\(t^{2}-(a+b)t+ab=0\) \(\Leftrightarrow\) \(((t-a)(t-b)=0)\)
ここで，\(t\)は実数解を持つ必要がある．（より狭い範囲である自然数は後で絞る時に利用する．）
よって，判別式\(D=(a+b)^2-4ab\)\(=\displaystyle \frac{3p-1}{2}-2(p-1)\)\(=\displaystyle \frac{3-p}{2}\geqq 0\)
また，\(p=a^{2}+ab+b^{2}\geqq 3\)より，\(p=3\)のみ候補として挙げられる．
③に代入すると\(ab=1\)より，\((a,b)=(1,1)\)が成立するため，答えは\(p=3\)
(2)の方法 2乗が正であることを利用した不等式を作る．
①－②から，\(2ab=p-1\cdots\)③
ここで②を変形すると，\((a-b)^{2}=1-ab=\displaystyle \frac{3-p}{2}\geqq 0\)
以下，(1)と同じ方法．
※\(a,b\)が自然数という条件でなく，整数という条件ではどうなるだろうか．
候補として考えられるパターンの，\(a^{2}+ab+b^{2}=-p\), \(a^{2}-ab+b^{2}=-1\)
\(a^{2}+ab+b^{2}=-1\), \(a^{2}-ab+b^{2}=-p\)については，両辺を足すと，\(2a^{2}+2b^{2}=-(1+p)\)となり，左辺が正，右辺が負となるので不適．
一方で，\(a^{2}+ab+b^{2}=1\), \(a^{2}-ab+b^{2}=p\)について，解答と同じ解き方をすると，\(p\leqq 3\)となる．\(2ab=1-p\)なので，\(p=3\)のみ条件を満たす．結局\(a^{2}+b^{2}=2\)で満たす整数の組は\((a,b)=(1,-1),(-1,1)\)である．