中級者
数学A：整数
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ヒント：1．整数問題は因数分解できるか確認しよう．2．不等式を作って範囲を絞る．
問題
\(a^{3}+b^{3}-3ab+1=p\)で，\(a,b\)は整数，\(p\)は素数の時，最小となる\(p\)の値を求めよ．(オリジナル)
\(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\)の因数分解を思い出そう．
解答
ここで，\(a^{2}+b^{2}+1-ab-b-a=(a-b)^{2}+(b-1)^{2}+(1-a)^{2}\geqq 0\)より，候補として次の2通り考えられる．
① \(a+b+1=p\), \(a^{2}+b^{2}+1-ab-b-a=1\)
② \(a+b+1=1\), \(a^{2}+b^{2}+1-ab-b-a=p\)
①については，\(a^{2}+b^{2}+1-ab-b-a=1\)\(\Leftrightarrow\)\((a-b)^{2}+(b-1)^{2}+(1-a)^{2}=1\)で，\(A^2\geqq0\)なので，左辺の2項は0が成立する．
なお，この式を満たす\(a,b\)は存在しない．
次に②について考える．\(a+b=0\)となるので，\(a^{2}+b^{2}+1-ab-b-a=p\)に\(b=-a\)を代入すると，\(3a^{2}=p-1\)．
\(p=2\)で成立する整数\(a\)は存在しない．ここで，右辺は\(p\neq2\)の時は偶数となる．また，\(3a^{2}\)は\(a^{2}\)の増加関数なので，\(|a|\)を小さい数から入れていけばよい．よって，最小の整数\(a=\pm2\)を代入すると，\(p=13\)でこれは素数であるため，これが答えになる．