中級者
数学A：整数
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ヒント：大小関係を漏れなく正確に記述できれば解けます．
問題
\(a+b,a−c,a+c,b+c\)の値は並びかえると連続した自然数となっている．\(a,b,c\)の値を求めよ．
ただし\(a,b,c\)は自然数とする．(オリジナル)
解説
整数問題は，不等式で範囲を絞っていくと答えがでる問題がある．これは自然数という条件から式を作っていくと･･･
解答
まず，\(a−b\)について自然数より，\(a−b>0⇔a>b\)
また\(a,b,c\)の大小関係に注目してみる．
(1) \(a>b>c\)のとき，
\(a+b>a+c>b+c\)となる．ここで
(i) \(b+c>a−b\)のとき
\(a+c=b+c+1\) ⇔ \(a−b=1\)
よって連続した自然数という条件から\(b+c=2\)，\(a+c=3\)，\(a+b=4\)
∴\((a,b,c)=\left(\displaystyle \frac{5}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)\)
(ii) \(a+c>a−b>b+c\)のとき，
\(a+c=b+c+2\) ⇔ \(a−b=2\)
よって連続した自然数という条件から\(b+c=1\)，\(a+c=3\)，\(a+b=4\)
∴\((a,b,c)=(3,1,0)\)
(iii) \(a−b>a+c\)のとき，
\(b+c<0\)となり，自然数であることに反する．
(iv) \(a−b>a+b\)のとき，
\(b<0\)となり，自然数であることに反する．
以下，\(a−b<a+c\)，\(a−b<a+b\)とする．…①
(2) \(c>a>b\)のとき
\(a+c>b+c>a+b\)となる．ここで
(i) \(a+b>a−b\)のとき
\(a+c=b+c+1\) ⇔ \(a−b=1\)
よって連続した自然数という条件から\(a+b=2\)，\(b+c=3\),\(a+c=4\)
∴\((a,b,c)=\left(\displaystyle \frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)\)
①の条件より満たす場合はこれのみ．
(3)\(a>c>b\)のとき
\(a+c>a+b>b+c\)
(i) \(b+c>a−b\)
\(a+c=b+c+2\) ⇔ \(a−b=2\)
よって連続した自然数という条件か\(b+c=3\)，\(a+b=4\)，\(a+c=5\)
∴\((a,b,c)=(3,1,2)\)
(ii) \(a+b>a−b>b+c\)
\(a+c=b+c+3\) ⇔ \(a−b=3\)
よって連続した自然数という条件から\(b+c=2\)，\(a+b=4\)，\(a+c=5\)
∴\((a,b,c)=\left(\displaystyle \frac{7}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\)
①の条件より満たす場合はこれのみ．
以上から，求める答えは，\((a,b,c)=(3,1,2)\)
参考入試問題
4個の整数\(1,a,b,c\)は\(1<a<b<c\)を満たしている．これらの中から，相違なる2個を取り出して和を作ると，\(1+a\)から\(b+c\)まですべての整数の値が得られるという．\(a,b,c\)の値を求めよ．（02京大)
解答
条件から作られる和は\(1+a,1+b,1+c,a+b,a+c,b+c\)となる．これらは\(1+c\)と\(a+b\)の部分を除いてすべて連続している．\(1<a<b<c\)から\(1+a<1+b<1+c\)と\(a+b<a+c<b+c\)が成り立つ．ここで，\(1+c<a+c\)なので，\(1+c\)と\(a+b\)の大小関係で成立する，\(a,b,c\)を求めればよい．
①\(1+c<a+b\)のとき，\(1+a<1+b<1+c\)で連続から\(c=b+1=a+2\)がなりたっているので，\(1+c+1=a+b\)を代入して整理すると，\(a=3,b=4,c=5\) これは成り立っている．
②\(1+c=a+b\)のとき，\(1+a<1+b<1+c\)で連続から\(c=b+1=a+2\)がなりたっているので，\(1+c=a+b\)を代入して整理すると，\(a=2,b=3,c=4\) これは成り立っている．
③\(a+b<1+c\)のとき，\(1+a<1+b<a+b<1+c<a+c<b+c\)なので，\(1+a<1+b<a+b\)から\(a=2,b=3\)
よって\(a+b<1+c\)から\(c=5\)となる．
以上から\((a,b,c)=(2,3,4)(2,3,5)(3,4,5)\)