中級者
数学A：整数
-
ヒント：整数問題で分からない場合は具体的な値を入れてみる．また素数を偶奇(\(\bmod{2}\))や\(\bmod{3}\)で判定する場合が多いので，具体的な値で何の倍数になっているかを確認しよう．
問題
\(p,q\)を素数とする．\(p\),\(p+q\),\(p+2q\)が全て素数となる場合，\(p,q\)を求めよ．
解答
素数は2を除いてすべて奇数であるため，\(p\),\(p+q\),\(p+2q\)が全て素数となる条件として，偶奇判定では，(奇数，偶数，奇数)もしくは(奇数，奇数，奇数)となる．しかし，\(p,q\)は素数であるため，\(p+q=2\)にならない．よって，\(p\),\(p+q\),\(p+2q\)は全て奇数となる．その時，\(p\)は奇数，\(q\)は偶数となり，\(q=2\)が成り立つ．
ここで，\(p\),\(p+2\),\(p+4\)が全て素数になる場合について，\(p\)に具体的な値を入れてみると，(3,5,7),(5,7,9),(7,9,11),(11,13,15)…と，いずれかに必ず3の倍数が入ることが考えられる．
よって，
(1)\(p\equiv 0 \pmod{3}\)の時，\(p+2\equiv 2 \pmod{3}\),\(p+4\equiv 1 \pmod{3}\)
(2)\(p\equiv 1 \pmod{3}\)の時，\(p+2\equiv 0 \pmod{3}\),\(p+4\equiv 2 \pmod{3}\)
(3)\(p\equiv 2 \pmod{3}\)の時，\(p+2\equiv 1 \pmod{3}\),\(p+4\equiv 0 \pmod{3}\)
となるため，\(p\),\(p+2\),\(p+4\)のいずれかの値は3の倍数となる．
ここで3の倍数で素数となるのは3が唯一であり，\(p=3\)が当てはまる．
この時，\(p+2=5\),\(p+4=7\)で全て素数となるため，条件を満たす．
以上より，\((p,q)\)\(=(3,2)\)が答えになる．
参考入試問題
①\(n\)を自然数とする。\(n\),\(n+2\),\(n+4\)がすべて素数であるのは\(n=3\)の場合だけであることを示せ．(2004年 早稲田大学・政経)
上記と同じ解答になるため，解答は略
②4個の整数\(n+1\),\(n^3+3\),\(n^5+5\),\(n^7+7\)が全て素数となるような正の整数\(n\)は存在しないことを示せ．（2013 大阪大学）
解答
(1)\(n\equiv 0 \pmod{3}\)の時，\(n^3+3\equiv 0 \pmod{3}\)で，\(n\)は正の整数なので，\(n^3+3>3\)となり，素数にはならない．
(2)\(n\equiv 1 \pmod{3}\)の時，\(n^5+5\equiv 0 \pmod{3}\)で，\(n\)は正の整数なので，\(n^5+5>5\)となり，素数にはならない．
(3)\(n\equiv 2 \pmod{3}\)の時，\(n^7+7\equiv 0 \pmod{3}\)で，\(n\)は正の整数なので，\(n^7+7>7\)となり，素数にはならない．
以上より，4個の整数\(n+1\),\(n^3+3\),\(n^5+5\),\(n^7+7\)が全て素数となるような正の整数\(n\)は存在しない．
（※なぜ\(n+1\)が含まれているかは不明）