上級者
数学Ⅲ：積分法
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ヒント：回転体を求める時に複数の関数がある場合は，どちらの関数が優先すべき関数か場合分けが必要である．また，回転体を求める時は，余分な体積を引く必要がある場合があるので，注意が必要である．（媒介変数を使うような関数ではよく現れる）
問題（オリジナル）
\(y=x^2\)と\(y=-2x^2+3x\)で囲まれる領域を\(y=x\)の周りに1回転してできる立体の体積\(V\)を求めよ．
解答
図のようなグラフと点を描く．なお，\(OH⊥PH\)，\(OH⊥QH\)である．
ここで点\(P\),点\(Q\)の\(x\)座標を\(a\)と置くと，点\(R(a,a)\)，\(P(a,-2a^2+3a)\)，\(OR=\sqrt{2}a\)
ここで，\(PR=\sqrt{2}PH=\sqrt{2}RH\)で，\(PR=-2a^2+2a\)
よって，\(PH=\sqrt{2}(-a^2+a)\)，\(OH=OR+RH=\sqrt{2}(-a^2+2a)\)
また，\(\displaystyle H(-a^2+2a,-a^2+2a)\)で直線\(PH\)の傾きは-1なので，
\(PH:y=-(x-(-a^2+2a))-(-a^2+2a)\)\(=-x+2(-a^2+2a)\)
ここで，直線\(PH\)と\(y=x^2\)の\(x>0\)以上の交点\(Q\)については，
\(x^2=-x+2(-a^2+2a)\)の方程式を解くと，\(\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{1+8(-a^2+2a)}}{2}\)
これより，\(Q\)と\(H\)の\(x\)座標の差は\(\displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+8(-a^2+2a)}}{2}-(-a^2+2a)\)で，この\(\sqrt{2}\)倍が\(QH\)となる．
よって，\(QH=\displaystyle \sqrt{2}\left(\frac{-1+\sqrt{1+8(-a^2+2a)}}{2}-(-a^2+2a)\right)\)
ここで，\(PH\)と\(QH\)の大きさによって，\(y=x^2\)の回転体か\(y=-2x^2+3x\)の回転体のいずれかを選択する必要がある．
ここで，\(PH=QH\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle \sqrt{2}(-a^2+a)=\sqrt{2}\left(\frac{-1+\sqrt{1+8(-a^2+2a)}}{2}-(-a^2+2a)\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{-8a^2+16a+1}=-4a^2+6a+1\)
ここで，両辺2乗して整理すると，\(a(a-1)(4a^2-8a+1)=0\)
\(0\leqq a \leqq 1\)なので，\(\displaystyle a=0,1,1-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ここで，\(\displaystyle 0\leqq a \leqq 1-\frac{\sqrt{3}}{2}\)では\(PH \leqq QH\)
ここで，\(\displaystyle 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \leqq a \leqq 1\)では\(PH \geqq QH\)
ここで\(PH\)の回転体を求める時に，余分な体積を引く必要がある場合を考える必要がある．つまり，\(y=-x+d\)と\(y=-2x^2+3x\)を接する時に\(x=\alpha<1\)で接する場合は，積分区間を\(x=\alpha\)前後で分けて，\(x \leqq \alpha\)の回転体の体積から\(x \geqq \alpha\)の回転体の体積を引く必要がある．
ここで，\(y=-x+d\)と\(y=-2x^2+3x\)が接する時は，\(d=2\)で，\(x=1\)となる．これより，余分な体積を引く必要はない．
以上より，求める回転体の体積\(V\)は，\(OH=t\)と置くと，\(0 \leqq t \leqq \sqrt{2}\)の範囲で，
\(V\)\(=\displaystyle \pi\int_{0}^{t_{1}}{QH}^2 dt\)\(+\displaystyle \pi\int_{t_{1}}^{\sqrt{2}}{PH}^2 dt\)
ここで，\(dt=2\sqrt{2}(-a+1)da\)，\(t:0\rightarrow t_{1} \rightarrow \sqrt{2}\)で\(\displaystyle a:0\rightarrow 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \rightarrow 1\)
\(V\)\(=\displaystyle 2\sqrt{2}\pi\int_{0}^{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\sqrt{2}\left(\frac{-1+\sqrt{1+8(-a^2+2a)}}{2}-(-a^2+2a)\right)\right)^2 (-a+1)da\)\(+\displaystyle 2\sqrt{2}\pi\int_{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}{(\sqrt{2}(-a^2+a))}^2 (-a+1)da\)
ここで，\(V_{1}\)\(=\displaystyle 2\sqrt{2}\pi\int_{0}^{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\sqrt{2}\left(\frac{-1+\sqrt{1+8(-a^2+2a)}}{2}-(-a^2+2a)\right)\right)^2 (-a+1)da\)について，\(x=\sqrt{1+8(-a^2+2a)}\)と置くと，
\(a:0\rightarrow 1-\frac{\sqrt{3}}{2}\)で\(\displaystyle x:1\rightarrow \sqrt{3}\)
また\(x^2=1+8(-a^2+2a)\)で，\(\displaystyle 2x\frac{dx}{da}=16(-a+1)\)
よって，\(V_{1}\)\(=\displaystyle 4\sqrt{2}\pi\int_{1}^{\sqrt{3}}\left(\frac{-1+x}{2}-\frac{x^2-1}{8}\right)^2 \frac{x}{8}dx\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{128}\pi\int_{1}^{\sqrt{3}}x(-x^2+4x-3)^2 dx\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{128}\pi\left[\frac{x^6}{6}-\frac{8x^5}{5}+\frac{11x^4}{2}-8x^3+\frac{9x^2}{2}\right]_{1}^{\sqrt{3}}\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{480}\pi(251-144\sqrt{3})\)
\(V_{2}\)\(=\displaystyle 2\sqrt{2}\pi\int_{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}{(\sqrt{2}(-a^2+a))}^2 (-a+1)da\)\(=\displaystyle 4\sqrt{2}\pi\int_{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}(-a^5+3a^4-3a^3+a^2)da\)\(=\displaystyle 4\sqrt{2}\pi\left[-\frac{a^6}{6}+\frac{3a^5}{5}-\frac{3a^4}{4}+\frac{a^3}{3}\right]_{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}\)\(\displaystyle =\frac{9\sqrt{2}}{160}\pi(15-8\sqrt{3})\)
よって，\(V\)\(=V_{1}+V_{2}\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{60}\pi(82-45\sqrt{3})\)