上級者
数学Ⅲ：積分法
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ヒント：問題から得られる関数はベータ関数と呼ばれるものです．積分と漸化式の組み合わせは難関大には出てくるので，一度は問題を解いておこう．
問題
\(m,n\)を自然数とする．\(x \geqq 0\),\(y \geqq 0\)の場合で，曲線\(x^\frac{1}{m}+y^\frac{1}{n}=1\)と\(x\)軸，\(y\)軸とで囲まれる領域の面積を\(S(m,n)\)とする．
(1)\(\displaystyle S(m,n+1)=\frac{n+1}{m+1}S(m+1,n)\)となることを示せ．
(2)\(S(m,n)\)を\(m,n\)を用いて表せ．
(3)\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(S(n,n))^\frac{1}{n}\)の値を求めよ．
解答
まず，\(x\)の取る範囲は，第1象限であることから，\(x\geqq 0\)
また，\(y\geqq 0\)なので，\(y=(1-x^\frac{1}{m})^{n}\)\(\geqq 0\)\(\Leftrightarrow\)\(x\leqq 1\)
(1)
\(y=(1-x^\frac{1}{m})^{n}\)において，
\(S(m,n+1)\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}(1-x^\frac{1}{m})^{n+1} dx\)
ここで，\(\displaystyle x^\frac{1}{m}=t\)と置くと，
\(x:0\rightarrow 1\)で\(t:0\rightarrow 1\)，\(dx=mt^{m-1}dt\)
よって，\(S(m,n+1)\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}(1-t)^{n+1}mt^{m-1}dt\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}(1-t)^{n+1}(t^{m})'dt\)\(=\displaystyle \left[(1-t)^{n+1}t^{m}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(n+1)(-1)(1-t)^{n}t^{m}dt\)\(=\displaystyle (n+1)\int_{0}^{1}(1-t)^{n}t^{m}dt\)\(=\displaystyle \frac{n+1}{m+1}(m+1)\int_{0}^{1}(1-t)^{n}t^{m}dt\)\(=\displaystyle \frac{n+1}{m+1}S(m+1,n)\)
(2)
\(S(m,n)\)\(=\displaystyle \frac{n}{m+1}S(m+1,n-1)\)\(=\cdots\)\(=\displaystyle \frac{n}{m+1}\frac{n-1}{m+2}\cdots\frac{2}{m+n-1}S(m+n-1,1)\)\(=\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n-1)!}S(m+n-1,1)\)
\(S(m+n-1,1)\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}(1-x^\frac{1}{m+n-1}) dx\)\(=\displaystyle \left[x-\frac{m+n-1}{m+n}x^\frac{m+n}{m+n-1}\right]_{0}^{1}\)\(=\displaystyle \frac{1}{m+n}\)
よって，
\(S(m,n)\)\(=\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n)!}\)
(3)
\(S(n,n)\)\(=\displaystyle \frac{n!n!}{2n!}\)
ここで，\(\log (S(n,n))^\frac{1}{n}\)\(=\displaystyle \frac{1}{n}\log \frac{1\times(1-\frac{1}{n})\times\cdots\times\frac{1}{n}}{2\times(2-\frac{1}{n})\times\cdots\times(1+\frac{1}{n})}\)\(=\displaystyle \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n} \log\frac{k}{n}-\sum_{k=1}^{n} \log(1+\frac{k}{n})\right)\)
ここで，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx\)となる．
よって，\(\log (S(n,n))^\frac{1}{n}\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}\log x dx-\int_{0}^{1}\log(1+x)dx\)
ここで，\(\displaystyle \int_{0}^{1}\log(1+x)dx\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}(1+x)'\log(1+x)dx\)\(=\displaystyle \left[(1+x)\log(1+x)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(1+x)\frac{1}{1+x}dx\)\(=2\log2-\left[x\right]_{0}^{1}\)\(=2\log2 -1\)
\(\displaystyle \int_{0}^{1}\log x dx\)\(=\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\int_{t}^{1}\log x dx\)\(=\displaystyle \lim_{t\rightarrow +0}(-1+t-t\log t)=-1\) （広義積分なので，高校範囲では解が与えられた状態で出る）
よって，\(\log (S(n,n))^\frac{1}{n}\)\(=-2\log 2\)\(=\displaystyle \log \frac{1}{4}\)
以上より，\((S(n,n))^\frac{1}{n}\)\(=\displaystyle \frac{1}{4}\)
参考入試問題
\(m,n\)を自然数とする．第1象限内の曲線\(x^\frac{1}{m}+y^\frac{1}{n}=1\)と\(x\)軸，\(y\)軸とで囲まれる部分の面積を\(A(m,n)\)とする．
(1)\(A(m,1)\)を求めよ．
(2)\(\displaystyle A(m,n+1)=\frac{n+1}{m+1}A(m+1,n)\)であることを示せ．
(3)\(A(m,n)\)を求めよ．（1986東京工業大学）
解答
まず，\(x\)の取る範囲は，第1象限であることから，\(x\geqq 0\)
また，\(y\geqq 0\)なので，\(y=(1-x^\frac{1}{m})^{n}\)\(\geqq 0\)\(\Leftrightarrow\)\(x\leqq 1\)
(1)
\(A(m,1)\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}ydx\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}1-x^\frac{1}{m} dx\)
\(=\displaystyle \left[x-\frac{m}{m+1}x^\frac{m+1}{m}\right]_{0}^{1}\)\(=\displaystyle \frac{1}{m+1}\)
(2)
\(y=(1-x^\frac{1}{m})^{n}\)において，
\(A(m,n+1)\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}(1-x^\frac{1}{m})^{n+1} dx\)
ここで，\(\displaystyle x^\frac{1}{m}=t\)と置くと，
\(x:0\rightarrow 1\)で\(t:0\rightarrow 1\)，\(dx=mt^{m-1}dt\)
よって，\(A(m,n+1)\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}(1-t)^{n+1}mt^{m-1}dt\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}(1-t)^{n+1}(t^{m})'dt\)\(=\displaystyle \left[(1-t)^{n+1}t^{m}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(n+1)(-1)(1-t)^{n}t^{m}dt\)\(=\displaystyle (n+1)\int_{0}^{1}(1-t)^{n}t^{m}dt\)\(=\displaystyle \frac{n+1}{m+1}(m+1)\int_{0}^{1}(1-t)^{n}t^{m}dt\)\(=\displaystyle \frac{n+1}{m+1}A(m+1,n)\)
(3)
\(A(m,n)\)\(=\displaystyle \frac{n}{m+1}A(m+1,n-1)\)\(=\cdots\)\(=\displaystyle \frac{n}{m+1}\frac{n-1}{m+2}\cdots\frac{2}{m+n-1}A(m+n-1,1)\)\(=\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n-1)!}A(m+n-1,1)\)
ここで，\(A(m+n-1,1)\)については，(1)の結果を使って，\(A(m+n-1,1)\)\(=\displaystyle \frac{1}{m+n}\)
よって，\(A(m,n)\)\(=\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n-1)!}\frac{1}{m+n}\)\(=\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n)!}\)
※次のようにほとんど同じ問題が出てます．
自然数\(m,n\)に対し，曲線\(x^\frac{1}{m}+y^\frac{1}{n}=1\)(\(x \geqq 0\),\(y \geqq 0\))と\(x\)軸，\(y\)軸とで囲まれた領域の面積を\(S(m,n)\)で表す．以下の問いに答えよ．
(1)次の等式を示せ．\(S(m,n)\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}t^{m-1}(1-t)^{n}dt\)
(2)\(n \geqq 2\)のとき，\(S(m,n)\)と\(S(m+1,n-1)\)の間に次の関係式があることを示せ．
\(\displaystyle S(m,n)=\frac{n}{m+1}A(m+1,n-1)\)
(3)\(S(m,n)\)を\(m,n\)を用いて表せ．（2018お茶の水女子大）