MATH

ヒント：式の証明の難しい問題は，任意の\(n\)の等式を示す問題となるが，式変形で証明しきるのは難しい場合がある．その場合は数学的帰納法が使える．

問題

(オリジナル)

Bessel関数(\(n\)は0以上の整数)\(J_{n}(x)=x^{n}\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n}m!\Gamma(n+m+1)}x^{2m}\)について次の問題を考えろ．

(1)ガンマ関数は\(\displaystyle \Gamma(n)=\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha}t^{n-1}e^{-t}dt\)という式で表せる．次の式が成り立つことを証明せよ．

\(\Gamma(n)=(n-1)!\)

(2)Bessel関数は次の等式を満たすことを示せ．

\(\displaystyle \frac{2n}{x}J_{n}(x)=J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)\)

解答

(1)\(I_{n}=\displaystyle \int_{0}^{\alpha}t^{n-1}e^{-t}dt\)とおく．\(I_{n}=[-t^{n-1}e^{-t}]_{0}^{\alpha}+(n-1)\displaystyle \int_{0}^{\alpha}t^{n-2}e^{-t}dt=-\alpha^{n-1}e^{-\alpha}+(n-1)I_{n-1}\)

ここで，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x^{n}e^{-x}=0\)となる．(※)

よって，\(\displaystyle \lim_{\alpha\rightarrow\infty}I_{n}=\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)\)

よって，\(\displaystyle \frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-1)}\cdot\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-2)}\cdot\cdots\cdot\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(1)}=\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(1)}=(n-1)!\)

ここで，\(\displaystyle \Gamma(1)=\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha}e^{-t}dt=\lim_{\alpha\rightarrow\infty}[-e^{-t}]_{0}^{\alpha}=1\)

よって\(\Gamma(n)=(n-1)!\)となる．

(2)

(1)より\(J_{n}(x)=x^{n}\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n}m!(n+m)!}x^{2m}\)となる．

\(J_{n-1}(x)=x^{n-1}\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n-1}m!(n+m-1)!}x^{2m}\) \(=\displaystyle x^{n-1}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n-1}m!(n+m-1)!}x^{2m}+\frac{x^{n-1}}{2^{n-1}(n-1)!}\)

\(J_{n+1}(x)=x^{n+1}\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n+1}m!(n+m+1)!}x^{2m}\) \(=\displaystyle x^{n-1}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n+1}m!(n+m+1)!}x^{2m+2}\) \(=\displaystyle x^{n-1}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{2^{2m+n-1}(m-1)!(n+m)!}x^{2m}\)

∴\(J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)\)\(=x^{n-1}\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n-1}m!(n+m-1)!}x^{2m}+x^{n-1}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{2^{2m+n-1}(m-1)!(n+m)!}x^{2m}+\frac{x^{n-1}}{2^{n-1}(n-1)!}\) \(=x^{n-1}\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n-1}(m-1)!(n+m-1)!}x^{2m}\times(\frac{1}{m}-\frac{1}{n+m})+\frac{x^{n-1}}{2^{n-1}(n-1)!}\) \(=\displaystyle nx^{n-1}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n-1}m!(n+m)!}x^{2m}+\frac{x^{n-1}}{2^{n-1}(n-1)!}\)

一方

\(\displaystyle \frac{2n}{x}J_{n}(x)=2nx^{n-1}\left(x^{n}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n}m!(n+m)!}x^{2m}+\frac{1}{2^{n}n!}\right)\) \(=\displaystyle nx^{n-1}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2^{2m+n-1}m!(n+m)!}x^{2m}+\frac{x^{n-1}}{2^{n-1}(n-1)!}\)

以上から\(\displaystyle \frac{2n}{x}J_{n}(x)=J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)\)が成り立つ．

※証明方法(概略)

まず，\(x≧0\)のとき，\(e^{x}\displaystyle \geqq 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\)が成り立つことを示す．

ここで，\(f(x)=e^{x}-\left(1+\displaystyle \frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\right)\)

\(f^{(n)}(x)=e^{x}-1\geqq 0\)より，\(f^{(n-1)}(x)\)は増加関数．

\(f^{(n-1)}(x)\geqq f^{(n-1)}(0)=e^{0}-(1+0)=0\)より，\(f^{(n-2)}(x)\)は増加関数．

これを繰り返していけば，

\(f(x)\geqq 0\)となり，\(e^{x}\displaystyle \geqq 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\)が成り立つ．

ここで，\(e^{x}\displaystyle \geqq 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}>\frac{x^{n}}{n!}\) ⇔ \(0<x^{n-1}e^{-x}<\displaystyle \frac{n!}{x}\)となり，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{n!}{x}=0\)で挟みうちから\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x^{n}e^{-x}=0\)

参考入試問題

（1999 東工大）

2以上の自然数\(n\)に対して，

\(\displaystyle \int_{0}^{1}t^{2n-1}e^{t}dt+\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{{}_{2n-1}P_{2n-2k}}{2k+1}\right)e=(2n-1)!\)

を示せ．ここで，\(e\)は自然数の底である．

解答

\(I_{n}=\displaystyle \int_{0}^{1}t^{n}e^{t}dt\)とすると，\(I_{n}=[t^{n}e^{t}]_{0}^{1}-n\displaystyle \int_{0}^{1}t^{n-1}e^{t}dt=e-nI_{n-1}\)

また，

\(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{{}_{2n-1}P_{2n-2k}}{2k+1}\right)e=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(2n-1)!}{(2k+1)(2n-1-(2n-2k))}e\)\(=\displaystyle (2n-1)!e\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2k}{(2k+1)!}=\displaystyle (2n-1)!e\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{(2k)!}-\frac{1}{(2k+1)!}\right)\)

これから，数学的帰納法で証明する．

\(I_{2n-1}+\displaystyle (2n-1)!e\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{(2k)!}-\frac{1}{(2k+1)!}\right)=(2n-1)!\) \(\Leftrightarrow J_{2n-1}+\displaystyle e\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{(2k)!}-\frac{1}{(2k+1)!}\right)=1\)  \(\left(J_{2n-1}=\displaystyle \frac{I_{2n-1}}{(2n-1)!}\right)\)

\(n=2\)のとき，\(I_{1}=1,~I_{2}=e-2,~I_{3}=-2e+6\)より，

\(J_{3}=\displaystyle -\frac{1}{3}e+1\)

\(\displaystyle e\sum_{k=1}^{1}\left(\frac{1}{(2k)!}-\frac{1}{(2k+1)!}\right)=e\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)=\frac{1}{3}e\)

よって，\(J_{3}+\displaystyle e\sum_{k=1}^{1}\left(\frac{1}{(2k)!}-\frac{1}{(2k+1)!}\right)=1\)が成り立つ．

\(n=k\)のとき，与式が成り立つとすると，

\(\displaystyle J_{2n+1}+e\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{(2k)!}-\frac{1}{(2k+1)!}\right)=\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{(2n+1)!}+e\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{(2k)!}-\frac{1}{(2k+1)!}\right)+e\left(\frac{1}{(2n)!}-\frac{1}{(2n+1)!}\right)\)

ここで，\(\displaystyle \frac{I_{2n+1}}{(2n+1)!}\)\(=\displaystyle \frac{e-(2n+1)I_{2n}}{(2n+1)!}\)\(=\displaystyle \frac{e-(2n+1)(e-2nI_{2n-1})}{(2n+1)!}\)\(=\displaystyle -\frac{2n}{(2n+1)!}e +\frac{I_{2n-1}}{(2n-1)!}\)\(=\displaystyle -e\left(\frac{1}{(2n)!}-\frac{1}{(2n+1)!}\right)+J_{2n-1}\)

仮定から，\(\displaystyle e\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{(2k)!}-\frac{1}{(2k+1)!}\right)=1-J_{2n-1}\)

よって，\(J_{2n+1}+\displaystyle e\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{(2k)!}-\frac{1}{(2k+1)!}\right)=1\)となり，\(n=k+1\)の時も成り立つ．

以上より，数学的帰納法から，

\(\displaystyle \int_{0}^{1}t^{2n-1}e^{t}dt+\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{{}_{2n-1}P_{2n-2k}}{2k+1}\right)e=(2n-1)!\)