上級者
数学Ⅲ：積分法
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ヒント：このような問題で面積や体積を求める時にはまず座標設定を行うことが必要です．そのあとは空間となるので，様々な道具を使います．（三角関数・ベクトルなど)
問題
半径6，高さ8の円柱を考える．今，上底面と下底面の円周上に点を取り，その点の距離が常に10となるように点が動くとする．その点と点を棒で結ぶ．点が円周上を動く時この棒が描く図形と円柱の上下の円が囲む図形の体積を求めよ．（オリジナル）
解答
円柱の座標として，\(-4\leqq z\leqq 4\)，\(x^{2}+y^{2}=36\)をとる．
今，上底面の円周上に点\(P(6\cos\theta,6\sin\theta)\)，下底面の円周上に点\(Q(6\cos\psi,6\sin\psi)\)をとる（\(0 \leqq \theta,~\psi <2\pi\)）．このとき，棒の長さと座標から三平方の定理より
\(\displaystyle(6\cos \psi-6\cos\theta)^{2}+(6\sin\psi-6\sin\theta)^{2}+8^{2}=10^{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \cos(\psi-\theta)=\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \psi-\theta=\frac{\pi}{3}\)（実際ほかの解もあるが，対称性からこれのみでよい．）
ここでベクトルを考える．
\(z=t\)における円柱断面の円の中心を\(O\)とする．また，棒とこの円の交点を\(R\)とすると，
\(\displaystyle \overrightarrow{PR}\)\(=\displaystyle \frac{5-\frac{5}{4}t}{10}\overrightarrow{PQ}\)
ベクトルに関しては，\(x,y\)座標のみを考えると，
\(\displaystyle \overrightarrow{PQ}=(6(\cos\psi-\cos\theta),6(\sin\psi-\sin\theta))\)
\(\displaystyle \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PR}\)\(=\displaystyle \left(6\cos\displaystyle \theta+\frac{3}{5}\left(5-\frac{5}{4}t\right)(\cos\psi-\cos\theta),~6\sin\theta+\frac{3}{5}\left(5-\frac{5}{4}t\right)(\sin\psi-\sin\theta)\right)\)\(=\displaystyle \left(\left(\frac{9}{2}+\frac{3}{8}t\right)\cos\theta+\sqrt{3}\left(-\frac{3}{2}+\frac{3}{8}t\right)\sin\theta,~\left(\frac{9}{2}+\frac{3}{8}t\right)\sin\theta+\sqrt{3}\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{8}t\right)\cos\theta\right)\)\(=(x,y)\)
ここで，
\(x^{2}+y^{2}\)\(=\displaystyle \left(\frac{9}{2}+\frac{3}{8}t\right)^{2}+3\left(-\frac{3}{2}+\frac{3}{8}t\right)^{2}\)\(=\displaystyle 27+\left(\frac{3}{4}t\right)^{2}\)（円となる）
よって，求める体積は
\(V=\displaystyle \int_{-4}^{4}\pi\left(27+\frac{9}{16}t^{2}\right)dt=270\pi\)
参考入試問題
一辺の長さが1の立方体を中心をとおる対角線のうちの一本を軸として回転させたとき，この立方体が通過する部分の体積を求めよ．（1993後期東工大）
解答
立方体を中心をとおる対角線の軸と当たる点を\(A,B\)とする．また，\(A\)から\(B\)に向かって\(AT=t\)となる点\(T\)をとる．
その点\(T\)を通り，軸に垂直な平面で切ったときにできる立方体との切り口について考える．
\(0\displaystyle \leqq t\leqq\frac{\sqrt{3}}{3}\)のとき，
切り口は一辺\(\sqrt{6}t\)となる正三角形である．また，点\(T\)(重心)から正三角形の頂点への距離は\(\sqrt{2}t\)となるので，回転させた時の断面積はこれを半径とする円となるので，\(2\pi t^{2}\)となる．
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\leqq t\leqq\frac{\sqrt{3}}{2}\)のとき，
切り口は六角形となる．このとき点\(T\)から一番距離が遠い頂点への距離は計算すると\(\sqrt{2t^{2}-2\sqrt{3}t+2}\)となるので，断面積は\((2t^{2}-2\sqrt{3}t+2)\pi\)となる．
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq\sqrt{3}\)のときは\(0\displaystyle \leqq t\leqq\frac{\sqrt{3}}{2}\)のときと同じ形なのでその時の体積分追加すればよい．
以上より，\(0\displaystyle \leqq t\leqq\frac{\sqrt{3}}{3}\)のときの体積は\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}2\pi t^{2}dt=\frac{2\sqrt{3}\pi}{27}\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\leqq t\leqq\frac{\sqrt{3}}{2}\)のときの体積は，\(\displaystyle \int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}(2t^{2}-2\sqrt{3}t+2)\pi dt=\frac{5\sqrt{3}\pi}{54}\)
以上より求める体積は，\(2\displaystyle \times(\frac{2\sqrt{3}\pi}{27}+\frac{5\sqrt{3}\pi}{54})=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\)