上級者
数学Ⅲ：積分法
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ヒント：媒介変数で書かれる曲線は，しっかりと増減表を書いて確実に図示化できるようにすること．面積，体積を求めるときは，曲線が軸の上下のどちらに存在するか注意すること．
問題
(1)\(x=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\sin t+\cos t\)，\(y=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\sin t-\cos t\) \((0\leqq t<2\pi)\)の概形を\(xy\)平面に描け．
(2)\(x\)軸で図形を回転させた時にできる立体の体積を求めよ．(オリジナル)
解答
(1)
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cos t-\sin t\)，\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cos t+\sin t\)として次のような増減表を書く．
この増減表に基づいてグラフを描くと次のようになる．
(2)
体積を\(V\)とする．第二象限に注目して計算する．
下の図を見ると計算するとき，まず水色部分＋灰色部分を求めてから灰色部分を引けばよい．
よって
\(\displaystyle \frac{V}{2}=\pi\int_{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{0}y^{2}dx-\pi\int_{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{-1}y^{2}dx\)\(=\displaystyle \pi\int_{\frac{7}{6}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}(\frac{1}{\sqrt{3}}\sin t-\cos t)^{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}\cos t-\sin t)dt\)\(\displaystyle -\pi\int_{\frac{7}{6}\pi}^{\frac{4}{3}\pi}(\frac{1}{\sqrt{3}}\sin t-\cos t)^{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}\cos t-\sin t)dt\)
\(=\displaystyle \pi\left[\frac{2}{3}\cos t+\frac{4}{3\sqrt{3}}\sin t+\frac{1}{9}\cos 3t-\frac{1}{9\sqrt{3}}\sin 3t\right]_{\frac{7}{6}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\)\(-\displaystyle \pi\left[\frac{2}{3}\cos t+\frac{4}{3\sqrt{3}}\sin t+\frac{1}{9}\cos 3t-\frac{1}{9\sqrt{3}}\sin 3t\right]_{\frac{7}{6}\pi}^{\frac{4}{3}\pi}\)\(=\displaystyle \frac{4}{3}\pi\)
よって，\(V=\displaystyle \frac{8}{3}\pi\)