上級者
数学Ⅲ：積分法
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ヒント：（１）は単純にz=一定の平面で切ると計算が煩雑になる．だから平面Bに平行な面で切って考える．なおこのときにとる変数と断面積に対する高さの関係が重要になってくる．この場合の高さは変数方向ではないことに注意しよう．（２）は点Pからその曲面に接するような平面を考えなければならない．その時に関係式を間違えないようにしてやること．
問題
今放物線\(z=y^{2}\)を\(z\)軸の周りの回転して得られる曲面を\(A\)とする．またこれを\(z=y+2\)となる平面\(B\)で切る．このとき，
（１）曲面\(A\)と平面\(B\)に囲まれる体積を求めよ．
（２）切り口上に光源点\(P\)をとる．点\(P\)がこの切り口上を動くとき，\(z=0\)の\(xy\)平面で影となる部分の面積を求めよ．(オリジナル)
解答
（１）\(A\)の式は\(z=x^{2}+y^{2}\)となる．ここで，\(B\)に平行な平面\(z=y+t\)を連立させると\(x^{2}+y^{2}=y+t\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle x^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=t+\frac{1}{4}\)…①
これより\(xy\)平面に正射影された切り口の面積は\(\displaystyle \pi\left(t+\frac{1}{4}\right)\)
これを切り口の面積に戻すと，\(\displaystyle \frac{\pi\left(t+\frac{1}{4}\right)}{\cos\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\pi\left(t+\frac{1}{4}\right)\)
また切り口に垂直な方向の長さは\(dt\)動いたときに\(\displaystyle \frac{dt}{\sqrt{2}}\)となる．
ここで，\(t\)の範囲は平面Bからこの放物線に接するまでなので，①から\(x=0\)，\(y=\displaystyle \frac{1}{2}\)に接し，そのとき，\(t\)は，\(t=-\displaystyle \frac{1}{4}\)となる．
∴求める体積\(V\)は
\(V=\displaystyle \int_{-\frac{1}{4}}^{2}\sqrt{2}\pi\left(t+\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{dt}{\sqrt{2}}\)\(=\displaystyle \pi\left[\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{4}t\right]_{-\frac{1}{4}}^{2}=\frac{81}{32}\pi\)
※別解1
カヴァリエリの原理より，回転放物面\(z=x^{2}+y^{2}\)と平面で囲まれる体積\(z=y+2\)は，
円錐\(\displaystyle x^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=t+\frac{1}{4}\) \(\displaystyle \left(-\frac{1}{4}\leqq t\leqq 2\right)\)で囲まれる体積と同じである．
よって，\(V=\displaystyle \int_{-\frac{1}{4}}^{2}\pi\left(t+\frac{1}{4}\right)dt\)
（以降は上記と同じ）
※別解2
\(z=x^{2}+y^{2}\)と\(z=y+2\)において，\(x=t\)で切ったときの面積を考える．
\(yz\)平面の\(z\)の範囲を考えると，\(y^2+t^2 \leqq z \leqq y+2\)
また，\(z=y^2+t^2\)と\(z=y+2\)の交点の\(x\)座標を\(\alpha\)，\(\beta\)とすると，\((\beta> \alpha)\)
\(y^2-y+t^2-2=0\)の解と係数の関係より，\(\alpha+\beta=1\)，\(\alpha\beta=t^2-2\)
ここで．求める面積\(S\)は，\(S=\displaystyle \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)となる．
よって，\(S=\displaystyle \frac{1}{6}(9-4t^2)^\frac{3}{2}\)となる．
ここで，\(t\)の範囲は，\(9-4t^2 \geqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle -\frac{3}{2} \leqq t \leqq \frac{3}{2}\)
よって，求める体積\(V\)は，
\(V=\displaystyle \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{1}{6}(9-4t^2)^\frac{3}{2}dt\)
ここで，\(\displaystyle t=\frac{3}{2}\sin \theta\)とおくと，
\(\displaystyle t:-\frac{3}{2} \rightarrow \frac{3}{2}\)で\(\displaystyle x:-\frac{\pi}{2} \rightarrow \frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle dt=\frac{3}{2}\cos \theta d\theta\)
よって，\(V=\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{6} (9\cos^2 \theta)^\frac{3}{2} \frac{3}{2}\cos \theta d\theta\)\(=\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{27}{4} \cos^4 \theta d\theta\)\(=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{27}{2} \cos^4 \theta d\theta\)
ここで，ウォリス積分より，
\(I_n=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n \theta d\theta\)\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n \theta d\theta\)
\(\displaystyle I_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2}\)（\(n\)が偶数\)
\(\displaystyle I_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}\)（\(n\)が奇数\)
よって，\(V=\displaystyle \frac{27}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\)\(=\displaystyle \frac{81}{32}\pi\)
（２）切り口上の光源Pのy座標を\(t\)とおくと，
\(z=y+2\)より，\(z\)座標は\(t+2\)．また，\(x^2=z-y^2\)より，\(x\)座標は\(\pm \sqrt{-t^{2}+t+2}\)
よって，\(P(\sqrt{-t^{2}+t+2},t,t+2)\)
ここで，曲面との接点を\(P\)として平面\(PQ\)を\(z=ax+by+c\)…②とおく．
\(z=x^{2}+y^{2}\)と連立して，変形すると\(\displaystyle \left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{b}{2}\right)^{2}\)\(=\displaystyle c+\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}\)となる．
ここで，これは点\(P\)で唯一接するから，\(x=\displaystyle \frac{a}{2}\), \(\displaystyle y=\frac{b}{2}\), \(\displaystyle c=-\left(\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}\right)\)
これと②，\(P\)の座標から，\(\displaystyle \frac{a}{2}=\sqrt{-t^{2}+t+2}\)，\(\displaystyle \frac{b}{2}=t\)，\(\displaystyle \frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}=t+2\)…③
一方\(Q\)は\(z=0\)上に存在すると考えると，\((x,y,0)\)として，\(ax+by-\left(\displaystyle \frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}\right)=0\)
③をつかって\(a,b\)を消去すると，\(2(\sqrt{-t^{2}+t+2})x+2ty=t+2\)
\(t\)の範囲は，\(-t^{2}+t+2 \geqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \((−1 \leqq t\leqq 2)\)
二乗して\(\sqrt{~}\)を消して，整理すると，
\((4x^{2}+4y^{2}-4y+1)t^{2}-4(x^{2}+2y-1)t+4-8x^{2}=0\)
左辺を\(f(t)\)とおく．
\(f(-1)=4y^{2}+4y+1\)\(=\displaystyle 4(y+\frac{1}{2})^2 \geqq 0\), \(f(2)=16y^{2}-32y+16\)\(=16(y-1)^2 \geqq 0\)
判別式\(D/4 \geqq 0\) ⇔ \(x^{2}\left(\displaystyle \frac{x^{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{(y-\frac{1}{4})^{2}}{\frac{9}{16}}-1\right)\geqq 0\)
ここで，\(y=-\displaystyle \frac{1}{2},1\)は\(\displaystyle \frac{x^{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{(y-\frac{1}{4})^{2}}{\frac{9}{16}}-1\geqq 0\)の式に含まれている．
一方，上の式は光がとおる範囲だから影の部分は\(\displaystyle \frac{x^{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{(y-\frac{1}{4})^{2}}{\frac{9}{16}}\leqq 1\)
よって求める面積は，楕円の面積\(\pi ab\)を考え，\(\displaystyle \pi\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3\sqrt{2}}{8}\pi\)
参考入試問題
放物線\(\displaystyle y=\frac{3}{4}−x^2\)を\(y\)軸の回りに回転させて得られる曲面\(K\)を原点を通り回転軸と\(45^{\circ}\)の角をなす平面\(H\)で切る．曲面\(K\)と平面\(H\)で囲まれた部分の体積を求めよ．(1983 東大)
答え
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
※上記と同じ方法で計算をやってみよう．