上級者
数学Ⅲ：積分法
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ヒント：媒介変数を用いた面積の時は方向などに注意すること．
問題
一辺が\(a\)の正方形\(ABCD\)の中に，一辺が\(a\)の正三角形\(EFG\)の各頂点を中心に，異なる二頂点を半径\(a\)の円弧で結んでできる図形であるルーローの三角形が存在する．このルーロの三角形は，常に頂点か円弧が正方形\(ABCD\)の辺に接しながら，正方形\(ABCD\)の内部を動いている．この場合，ルーローの三角形が動く範囲の面積を求めよ．(オリジナル)
解答
図のような配置を考えた時，\(\angle BFG=\theta\)と置く．
ここで点\(E\)の軌跡を考える場合，\(E\)が\(CD\)を離れる瞬間の点を\(E'\)，\(DA\)上に接する瞬間の点を\(E''\)とする．この時の\(\theta\)の範囲は，\(\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}\)である．また，図形\(DE'E''\)(\(E'E''\)は\(E\)の軌跡)の面積\(S_{1}\)とすると，図形の対称性より，求める面積\(S\)は，\(a^{2}-4S_{1}\)となる．
ここで，\(A\)の座標を\(A(0,0)\)とすると，\(F(a-a\cos\theta,0)\)，\(\displaystyle \angle AFE=\frac{2\pi}{3}-\theta\)であることから，\(E(x_{E},y_{E})\)\(=\displaystyle \left(a-a\cos\theta-a\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right),a\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right)\right)\)
ここで，\(\displaystyle E'\left(a-\frac{\sqrt{3}a}{2},a\right)\)，\(\displaystyle E''\left(0,\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)\)である．
よって，\(S_{1}\)\(=\displaystyle \int_{0}^{a-\frac{\sqrt{3}a}{2}} (a-y_{E})dx\)
ここで，\(\displaystyle dx=a\sin\theta-a\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right)d\theta\)，\(\displaystyle y_{E}=a\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right)\)
\(\displaystyle x:0\rightarrow a-\frac{\sqrt{3}a}{2}\)の時，\(\displaystyle \theta:\frac{\pi}{3}\rightarrow \frac{\pi}{6}\)となる．
よって，\(S_{1}\)\(=\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \left(a-a\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right)\right)\left(a\sin\theta-a\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right)\right)d\theta\)\(=\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} a^{2}\left(\sin\theta-\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right)+\frac{1}{2}\left(\cos\frac{2\pi}{3}-\cos\left(2\theta-\frac{2\pi}{3}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(1-\cos\left(\frac{4\pi}{3}-2\theta\right)\right)\right)d\theta\)\(=\displaystyle a^{2}\left[-\cos\theta-\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right)+\frac{\theta}{4}+\frac{1}{4}\left(\sin\left(2\theta-\frac{4\pi}{3}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{3}-2\theta\right)\right)\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}\)\(=\displaystyle a^{2}\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{24}\right)\)
よって，\(S\)\(=a^{2}-4S_{1}\)\(=\displaystyle \left(2\sqrt{3}-3+\frac{\pi}{6}\right)a^{2}\)
※ここで，ルーローの三角形はドリルやロータリーエンジンなど様々なところに適用されている．広範囲を掃除できるということで，掃除機にも適用されています．掃除機の例はこちら（※パナソニックの回し者ではありません．）
正方形の中でルーローの三角形と円で掃ける面積を見てみよう．
円：\(\displaystyle \frac{\pi}{4}a^{2}\)\(\approx 0.7854a^{2}\)
ルーローの三角形：\(\displaystyle \left(2\sqrt{3}-3+\frac{\pi}{6}\right)a^{2}\)\(\approx 0.9877a^{2}\)
と，大きく異なることが分かる．
※パナソニックの回し者ではありません．