中級者
数学Ⅲ：積分法
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ヒント：基本的な問題です．円筒分割積分（バウムクーヘン分割積分）を使う問題です．（ちなみにこれを発展させると，パップス＝ギュルダンの定理が導けます．）
問題
\(y=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)となるグラフに対し，\(0\leqq x\leqq\sqrt{3}\)の範囲で，\(y\)軸を軸として回転させたときにできる立体の体積を求めよ．（オリジナル）
解説
まず一般に\(y=f(x)\)を\(y\)軸で回転させたときにできる体積は\(0 \leqq a\leqq x\leqq b\)として，\(V=\displaystyle \int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx\)となります．
この場合，これに当てはめて考えて見ましょう．すると\(V=\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{2\pi x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx\)となります．よってこれを計算していくことになります．ここで積分計算するとき，分母に\(x^{2}+1\)が出てきたら，\(x=\tan\theta\)とおくと，計算できることがよくあります．次に範囲について求めると，\(x:0→\sqrt{3}\)，\(\theta:0→\displaystyle \frac{\pi}{3}\)，また，\(\cos2\theta dx=d\theta\)となり，よって次のように変形できます．
\(V=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\pi \tan\theta}{\cos\theta}d\theta\)
しかしこれでは容易に計算ができません．実は三角関数の式変形は，\(\displaystyle \tan\frac{\theta}{2}=t\)とおくと，\(t\)の有理関数にできるのです．ではやってみます．ここでは三角関数でやったと思うので省略しますが，\(\displaystyle \sin\theta=\frac{2t}{1+t^{2}}\)，\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\)とおけて，
\(\theta:0→\displaystyle \frac{\pi}{3}\)，\(t:0→\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)，\(d\theta(t^{2}+1)=2dx\)となり，次のように変形できます．
\(V=\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{8\pi t}{(1-t^{2})^{2}}dt\)
これをさらに変形すると，
\(V=2\displaystyle \pi\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(\frac{1}{(t-1)^{2}}-\frac{1}{(t+1)^{2}}\right)dt\)となり，計算して答えは\(2\pi\)．
別解
\(V=\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{2\pi x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx\)
\(x^{2}+1=t\)とおくと，\(x:0\rightarrow\sqrt{3}\)，\(t:1\rightarrow 4\)，\(2xdx=dt\)
よって\(V=\displaystyle \int_{1}^{4}\frac{\pi}{\sqrt{t}}dt=2\pi\)
別解２
\(\sqrt{x^{2}+1}=t\)とおくと，\(x:0\rightarrow\sqrt{3}\)，\(t:1\rightarrow 2\)，\(dt\sqrt{x^{2}+1}=xdx\)
よって，\(V=\displaystyle \int_{1}^{2}2\pi\) \(dt=2\pi\)
注意
このときはどの方法が正解かはない．計算問題を多くやっていってカンをつけていくしかない．