中級者
数学Ⅲ：積分法
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ヒント：単なる計算問題です．
問題
\(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^4(1-x)^4}{2} dx\)\(\displaystyle <\int_{0}^{1}\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx\)\(\displaystyle <\int_{0}^{1}x^4(1-x)^4 dx\)の式を用い，\(\pi\)を小数点第2位まで求めよ．
解答
\(\displaystyle \int_{0}^{1}x^4(1-x)^4 dx\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}(x^8-4x^7+6x^6-4x^5+x^4)dx\)\(=\displaystyle \left[\frac{x^9}{9}-\frac{x^8}{2}+\frac{6x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1}\)\(=\displaystyle \frac{1}{9}-\frac{1}{2}+\frac{6}{7}-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\)\(=\displaystyle \frac{1}{630}\)
\(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1} \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right)dx\)\(=\displaystyle \left[\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+x^5-\frac{4x^3}{3}+4x\right]_{0}^{1}dx\)\(\displaystyle -4\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx\)
ここで，\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx\)について，
\(x=\tan y\)と置くと，\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\)\(=\cos^{2}y\)，\(\displaystyle dx=\frac{1}{\cos^{2} y}\)
また，\(x:0\rightarrow 1\)で\(\displaystyle y:0 \rightarrow \frac{\pi}{4}\)
よって，\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} dy\)\(=\displaystyle \frac{\pi}{4}\)
また，\(\displaystyle \left[\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+x^5-\frac{4x^3}{3}+4x\right]_{0}^{1}dx\)\(=\displaystyle \frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4\)\(=\displaystyle \frac{22}{7}\)
以上より，
\(\displaystyle \int_{0}^{1}x^4(1-x)^4 dx\)\(\displaystyle <\int_{0}^{1}\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx\)\(\displaystyle <\int_{0}^{1}\frac{x^4(1-x)^4}{2}dx\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{1}{1260}\)\(<\displaystyle \frac{22}{7}-\pi\)\(<\displaystyle \frac{1}{630}\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{1979}{630}\)\(<\displaystyle \pi\)\(<\displaystyle \frac{3959}{1260}\)
\(\displaystyle \frac{1979}{630}\)\(>3.1412\)，\(\displaystyle \frac{3959}{1260}\)\(<3.1421\)
よって，\(3.1412<\pi<3.1421\)なので，\(\pi≒3.14\)である．
※より高精度の結果が得られる不等式については以下のWikiを参照してください．
円周率が22/7より小さいことの証明
※以下の大阪大学の問題よりも簡単に\(\pi≒3.14\)を求めることができる．
円周率を\(\pi\)とする．正の整数\(n\)に対し，
\(\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{2-\sqrt{3}}\frac{1-x^{4n}}{1+x^{2}}dx\) \(\displaystyle b_{n}=\int_{0}^{2-\sqrt{3}}\frac{1-x^{4n+2}}{1+x^{2}}dx\)
とおく．
（１）\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\frac{\pi}{12}\)を証明せよ．
（２）\(3.141<\pi<3.142\)を証明せよ．ただし，\(1.7320508<\sqrt{3}<1.7320509\)である．（2013 大阪大 挑戦枠）