中級者
数学Ⅲ：積分法
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ヒント：単なる計算問題です．この手の問題は確実に解けるようにしましょう．参考入試問題で絶対値のある積分の極限は難関大学でよく出ます．区間で分けたり，置換する方法を学んでみましょう．
問題（オリジナル）
\(n\)を正の整数とするとき，
(i)\(a_{n}\)\(=\displaystyle \int_{0}^{n\pi}e^{-x}\sin x dx\)を求めよ．
(ii)\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)を求めよ．
解答
(1)
\(I=\displaystyle \int e^{-x}\sin x dx\)\(=\displaystyle \int e^{-x}(-\cos x)'dx\)\(=\displaystyle -e^{-x}\cos x-\int (e^{-x})'(-\cos x) dx\)\(=\displaystyle -e^{-x}\cos x-\int e^{-x}(\sin x)' dx\)\(=\displaystyle -e^{-x}\cos x-\left(e^{-x}\sin x-\int (e^{-x})'\sin x dx\right)\)\(=\displaystyle -e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x-I\)
よって，\(I=\displaystyle -\frac{1}{2}(e^{-x}\cos x+e^{-x}\sin x)＋C\) (\(C\)は積分定数)
よって，\(a_{n}\)\(=\displaystyle \left[-\frac{1}{2}(e^{-x}\cos x+e^{-x}\sin x)\right]_{0}^{n\pi}\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}(1-(-1)^{n})e^{-n\pi}\)
(2)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(-1)^{n}e^{-n\pi}=0\)
よって，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}\)
参考入試問題
①（1994 東工大）
(1)定積分\(\displaystyle \int_{0}^{\pi}e^{-x}\sin x dx\)を求めよ．
(2)極限値\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{n\pi}e^{-x}|\sin x|dx\)を求めよ．
解答
(1)
先のオリジナル問題で計算したように，
\(I=\displaystyle \int e^{-x}\sin x dx\)\(=\displaystyle -\frac{1}{2}(e^{-x}\cos x+e^{-x}\sin x)＋C\)
よって，\(\displaystyle \int_{0}^{\pi}e^{-x}\sin x dx\)\(=\displaystyle \left[-\frac{1}{2}(e^{-x}\cos x+e^{-x}\sin x) \right]_{0}^{\pi}\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}(1+e^{-\pi})\)
(2)
\(k\pi \leqq x \leqq (k+1)\pi\)の範囲で積分を考える場合，\(|\sin x|\)は常に正か負になる．よって，\(\displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}e^{-x}|\sin x| dx\)\(=\displaystyle \left|\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}e^{-x}\sin x dx\right|\)が成り立つ．
よって，\(\displaystyle \left|\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}e^{-x}\sin x dx\right|\)\(=\displaystyle \left|\left[-\frac{1}{2}(e^{-x}\cos x+e^{-x}\sin x) \right]_{k\pi}^{(k+1)\pi}\right|\)\(=\displaystyle \left|-\frac{1}{2}(e^{-(k+1)\pi}(-1)^{k+1}-e^{-k\pi}(-1)^{k}) \right|\)\(=\displaystyle \left|\frac{(-1)^{k}}{2}(e^{-(k+1)\pi}+e^{-k\pi}) \right|\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}(e^{-(k+1)\pi}+e^{-k\pi})\)\(=\displaystyle \frac{e^{-k\pi}}{2}(e^{-\pi}+1)\)
よって，\(\displaystyle \int_{0}^{n\pi}e^{-x}|\sin x|dx\)\(=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}e^{-x}|\sin x|dx\)\(=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\frac{e^{-k\pi}}{2}(e^{-\pi}+1)\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}(e^{-\pi}+1)\frac{1-e^{-n\pi}}{1-e^{-\pi}}\)
よって，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{n\pi}e^{-x}|\sin x|dx\)\(=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}(e^{-\pi}+1)\frac{1-e^{-n\pi}}{1-e^{-\pi}}\)\(=\displaystyle \frac{e^{\pi}+1}{2(e^{\pi}-1)}\)
②(2007 早稲田理工)
曲線\(y=e^{-x}\)と\(y=e^{-x}|\cos x|\)で囲まれた図形のうち\((n-1)\pi \leqq x \leqq n\pi\)を満たす部分の面積を\(a_{n}\)とする \((n=1,2,3,\cdots)\)．以下の問に答えよ．
(1)\(\displaystyle \int e^{-x}\cos x dx\)\(=e^{-x}(p\sin x+q\cos x)+C\)をみたす定数\(p,q\)を求めよ．ただし，\(C\)は積分定数である。
(2)\(a_{1}\)の値を求めよ。
(3)\(a_{n}\)の値を求めよ。
(4)\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})\)を求めよ．
解答
(1)
一般的な問題として，\(\displaystyle \int e^{-mx}\sin nx dx\)，\(\displaystyle \int e^{-mx}\cos nx dx\)を求めてみましょう．
\((e^{-mx}\sin nx)'\)\(=-(me^{-mx}\sin nx)\)\(+(ne^{-mx}\cos nx)\)
\((e^{-mx}\cos nx)'\)\(=-(me^{-mx}\cos nx)\)\(-(ne^{-mx}\sin nx)\)
これより，
\(e^{-mx}\sin nx\)\(=\displaystyle \frac{-1}{m^2+n^2}((me^{-mx}\sin nx)'+(ne^{-mx}\cos nx)')\)
\(e^{-mx}\cos nx\)\(=\displaystyle \frac{1}{m^2+n^2}((ne^{-mx}\sin nx)'-(me^{-mx}\cos nx)')\)
両辺を\(x\)で積分すれば，
\(\displaystyle \int e^{-mx}\sin nx dx\)\(=\displaystyle \frac{-1}{m^2+n^2}(me^{-mx}\sin nx+ne^{-mx}\cos nx)+C\)
\(\displaystyle \int e^{-mx}\cos nx dx\)\(=\displaystyle \frac{1}{m^2+n^2}(ne^{-mx}\sin nx-me^{-mx}\cos nx)+C\)
(\(C\)は積分定数)
よって，\(m=n=1\)とすると，
\(\displaystyle \int e^{-x}\cos x dx\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}(e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x)+C\)なので，\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle q=-\frac{1}{2}\)
(2)
求める面積\(a_{1}\)\(=\displaystyle \int_{0}^{\pi} (e^{-x}-e^{-x}|\cos x|) dx\)\(=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{-x}-e^{-x}\cos x) dx\)\(+\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (e^{-x}+e^{-x}\cos x) dx\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}(1-2e^{-\frac{\pi}{2}}-e^{-\pi})\)
(3)
求める面積\(a_{n}\)\(=\displaystyle \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} (e^{-x}-e^{-x}|\cos x|) dx\)
ここで，\(t=x-(n-1)\pi\)と置くと，\(x:(n-1)\pi \rightarrow n\pi\)が\(t:0\rightarrow \pi\)，\(dx=dt\)となるため，
\(a_{n}\)\(=\displaystyle \int_{0}^{\pi} (e^{-t-(n-1)\pi}-e^{-t-(n-1)\pi}|\cos (t+(n-1)\pi)|) dx\)\(=\displaystyle e^{-(n-1)t}\int_{0}^{\pi} (e^{-t}-e^{-t}|\cos t|) dt\)\(=\displaystyle e^{-(n-1)\pi}a_{1}\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}(1-2e^{-\frac{\pi}{2}}-e^{-\pi})e^{-(n-1)\pi}\)
(4)
\(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}(1-2e^{-\frac{\pi}{2}}-e^{-\pi})\sum_{k=1}^{n}e^{-(k-1)\pi}\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}(1-2e^{-\frac{\pi}{2}}-e^{-\pi})\frac{1-e^{-n\pi}}{1-e^{-\pi}}\)
よって，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})\)\(=\displaystyle \frac{e^{\pi}-2e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2(e^{\pi}-1)}\)