上級者
数学Ⅲ：極限
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ヒント：\(a_{n}\)が極限を持つということは，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_{n+1}=a_{n}=\alpha\)となる．よって元の式に当てはめて，答えを知った状態で，それをどのように示すかを考える．この時，\(|a_{n}-\alpha|\)\(<k_{n-1}|a_{n-1}-\alpha|\)を示し，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\prod_{m=1}^{n-1}k_{m}|a_{1}-\alpha|\)\(=0\)であることを示せばよい．
問題（オリジナル）
(1)数列\({a_{n}}\)は，\(a_{n}>0\)，\(a_{n+1}^2=a_{n}+12\)（\(n=1,2,\cdots\)）を満たすとする．この時，極限\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}\)を求めよ．
(2)数列\({a_{n}}\)は，\(a_{n}>0\)，\(a_{n+1}^2=na_{n}+2n^2+3n+1\)（\(n=1,2,\cdots\)）を満たすとする．この時，極限\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{n}\)を求めよ．
解答
(1)
\(\alpha^2=\alpha+12\)で，\(\alpha=4\)となるので，\(|a_{n}-4|\)について考える．
ここで\(a_{n}>0\)より，\(a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+12}\)
よって，\(|a_{n}-4|\)\(=|\sqrt{a_{n-1}+12}-4|\)\(=\displaystyle \left|\frac{(\sqrt{a_{n-1}+12}-4)(\sqrt{a_{n-1}+12}+4)}{\sqrt{a_{n-1}+12}+4}\right|\)\(=\displaystyle \left|\frac{a_{n-1}-4}{\sqrt{a_{n-1}+12}+4}\right|\)\(<\displaystyle \left|\frac{1}{4}(a_{n-1}-4)\right|\)\(<\displaystyle \left|\frac{1}{4^{n-1}}(a_{1}-4)\right|\)
ここで，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{4^{n-1}}(a_{1}-4)=0\)
よって，はさみうちの原理より，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} |a_{n}-4|=0\)
つまり，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}=4\)
(2)
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}^2}{(n+1)^2}\)\(=\displaystyle \frac{n^2}{(n+1)^2}\frac{a_{n}}{n}+\frac{2n+1}{n+1}\)
ここで，\(\displaystyle \frac{n^2}{(n+1)^2}\rightarrow 1\)，\(\displaystyle \frac{2n+1}{n+1}\rightarrow 2\)なので，
\(\alpha^2=\alpha+2\)の解を考えればよい．\(\alpha=2\)となるので，\(\displaystyle \left|\frac{a_{n}^2}{n^2}-4\right|\)について考える．
\(\displaystyle \left|\frac{a_{n}^2}{n^2}-4\right|\)\(=\left|\displaystyle \frac{(n-1)^2}{n^2}\frac{a_{n-1}}{n-1}+\frac{2n-1}{n}-4\right|\)\(<\left|\displaystyle \frac{a_{n-1}}{n-1}+2-4\right|\)\(=\left|\displaystyle \frac{a_{n-1}}{n-1}-2\right|\)
ここで，\(\displaystyle \left|\frac{a_{n}^2}{n^2}-4\right|\)\(=\displaystyle \left|(\frac{a_{n}}{n}-2)(\frac{a_{n}}{n}+2)\right|\)\(=\displaystyle \left(\frac{a_{n}}{n}+2\right)\left|\frac{a_{n}}{n}-2\right|\)\(>\displaystyle 2\left|\frac{a_{n}}{n}-2\right|\)
よって，\(\displaystyle \left|\frac{a_{n}}{n}-2\right|\)\(<\displaystyle \frac{1}{2}\left|\frac{a_{n-1}}{n-1}-2\right|\)\(<\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}|a_{1}-2|\)
ここで，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n-1}}|a_{1}-2|=0\)
よって，はさみうちの原理より，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n}}{n}-2\right|=0\)
つまり，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=2\)