MATH

ヒント：極限を考えるとき，三角関数なら，\(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\rightarrow 1(x\rightarrow 0)\)，指数関数なら，\(\log\)をとる，\(1^{\infty}=e^{a}\) (\(a\)は実数)などいろいろありますが，ここでは前提として，複雑な文字は置き換えるということをやります．

〇\(\tan \theta\)に関する極限（オリジナル）

\(\displaystyle \theta\rightarrow\frac{\pi}{4}\)のとき

（1）\((\tan\theta)^{\frac{1}{\tan\theta-1}}\)の極限を求めよ．

（2）\((\tan\theta)^{\frac{1}{\theta-\frac{\pi}{4}}}\)の極限を求めよ．

解答

(2)\(\displaystyle \theta-\frac{\pi}{4}=x\)とおく．すると\(x\rightarrow 0\)で，(与式)=\(\left(\tan \left(x+\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)\right)^{\frac{1}{x}}\)\(=\left(\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^{\frac{1}{x}}\)

ここで，\(\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x}<1\)のとき，\(\displaystyle \sin x<x<\tan x\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{1}{\tan x}<\frac{1}{x}<\frac{1}{\sin x}\) \(\displaystyle \left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)\)の不等式を使うと，

\(\left(\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}\)\(<\left(\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^{\frac{1}{x}}\)\(<\left(\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^{\frac{1}{\tan x}}\)となる．

\(\tan x=a\)とおくと，\(a \rightarrow 0\)で，右辺=\(\left(\displaystyle \frac{1+a}{1-a}\right)^{\frac{1}{a}}\)\(=\displaystyle (1+a)^{\frac{1}{a}}\{(1-a)^{\frac{1}{-a}}\}\rightarrow e^{2}\)

左辺=\(\displaystyle \left\{\left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^{\frac{1}{\tan x}}\right\}^{\frac{1}{\cos x}}\rightarrow e^{2}\)

また，\(\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x} \geqq 1\)のとき

\(\left(\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^{\frac{1}{\tan x}}\)\(\leqq \left(\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^{\frac{1}{x}}\)\(\leqq \left(\displaystyle \frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}\)

同様に\(e^{2}\)に収束する．

以上はさみうちの原理より，与式→\(e^{2}\)