中級者
数学Ⅲ：極限
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ヒント：極限の問題ではあるが，三角関数の変形がキーになる．\(\log\)が使われているため，\(\sum\)ではあるが，実質掛け算である．三角関数の変形で\(cos\)の掛け算のみになるものは何かを考えよう．
問題
\(S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\log\cos\frac{x}{2^{k}}\)とおく．\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=\log\frac{\sin x}{x}\)となることを示せ．ただし，\(0<x<\pi\)とする．(オリジナル)
解答
\(\displaystyle \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\)\(=\displaystyle 2^{2}\sin\frac{x}{2^{2}}\cos\frac{x}{2^{2}}\cos\frac{x}{2}\)\(=\cdots\)\(=\displaystyle 2^{n}\sin\frac{x}{2^{n}}\cos\frac{x}{2^{n}}\cos\frac{x}{2^{n-1}}\cdots\cos\frac{x}{2}\)
よって，\(\displaystyle \cos\frac{x}{2^{n}}\cos\frac{x}{2^{n-1}}\cdots\cos\frac{x}{2}\)\(=\displaystyle \frac{\sin x}{2^{n}\sin\frac{x}{2^{n}}}\)
両辺に\(\log\)をとると，\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\log\cos\frac{x}{2^{k}}\)\(=\displaystyle \log\frac{\sin x}{2^{n}\sin\frac{x}{2^{n}}}\)
ここで，\(n\rightarrow \infty\)のとき，\(\displaystyle \log\frac{\sin x}{2^{n}\sin\frac{x}{2^{n}}}\)\(=\displaystyle \log\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\frac{x}{2^{n}}}{\sin\frac{x}{2^{n}}}\rightarrow\log\frac{\sin x}{x}\)
※\(\displaystyle \frac{x}{2^n}=a\)とおくと，\(a\rightarrow 0\)となる．よって，\(\displaystyle \lim_{a\rightarrow 0}\frac{a}{\sin a}=1\)
よって，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=\log\frac{\sin x}{x}\)となる．
※\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\log \frac{\sin x}{2^{n}\sin\frac{x}{2^{n}}}\)\(=\displaystyle \log \frac{\sin x}{x}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{x}{2^{n}}}{\sin\frac{x}{2^{n}}}\rightarrow\log\frac{\sin x}{x}\)