中級者
数学Ⅲ：極限
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ヒント：三角関数の極限問題は，まずは\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)を使うことを考えよう．これが使えるように式変形していく．また極限問題は，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)もよく使うので，頭の中に常に置いておくように．
問題
次の極限値を求めよ．\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}\)
解答
\(\cos x=1-2\sin^{2}\displaystyle \frac{x}{2}\)
\(\displaystyle (\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}\)\(=\left(1-2\sin^{2}\displaystyle \frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\)
ここで\(x>0\)の時，\(\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}\)としてよく，このとき，\(\sin x<x<\tan x\)，\(0<1-2\sin^{2}\displaystyle \frac{x}{2}<1\)となる．
よって，\(\displaystyle \left(1-2\sin^{2}\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\sin^{2}x}}\)\(\displaystyle <\left(1-2\sin^{2}\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\)\(\displaystyle <\left(1-2\sin^{2}\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\tan^{2}x}}\)となる．
また，\(x<0\)の時，\(\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<0\)としてよく，このとき，\(\tan x<x<\sin x\)，\(0<1-2\sin^{2}\displaystyle \frac{x}{2}<1\)となる．
よって，\(\displaystyle \left(1-2\sin^{2}\displaystyle \frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\tan^{2}x}}\)\(\displaystyle <\left(1-2\sin^{2}\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}\)\(\displaystyle <\left(1-2\sin^{2}\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\sin^{2}x}}\)となる．
ここで，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)\(=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1-x)^{-\frac{1}{x}}\)\(=e\)を利用すると，
\(\displaystyle \left(1-2\sin^{2}\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\sin^{2}x}}\)\(=\left[\left(1-\left(\displaystyle \sqrt{2}\sin\frac{x}{2}\right)^{2}\right)^{\frac{-1}{(\sqrt{2}\sin\frac{x}{2})^{2}}}\right]^{\frac{-1}{2\cos^{2}\frac{x}{2}}}\rightarrow e^{-\frac{1}{2}}\)（\(\displaystyle \sin^{2}x=4\sin^{2}\frac{x}{2}\cos^{2}\frac{x}{2}\)を使った．)
\(\displaystyle \left(1-2\sin^{2}\displaystyle \frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\tan^{2}x}}\)\(=\displaystyle \left[\left(1-2\sin^{2}\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{\sin^{2}x}}\right]^{\cos^{2}x}\rightarrow e^{-\frac{1}{2}}\)
以上から，はさみうちの原理により，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}=e^{-\frac{1}{2}}\)