中級者
数学C(旧課程)：行列
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ヒント：まず，行列式が何をしているのかをよく考えよう．それからは今回の問題は単純に区分級積の問題となる．
問題
今座標変換行列\(A=\displaystyle \frac{1}{1+a^{2}} \left(\begin{array}{cc} 1-a^2 & -2a \\ 2a & 1-a^2 \\ \end{array}\right)\)がある．これを使い，点\(P\)を座標変換する．点\(P\)の初期位置を\(P_{0}(1,0)\)とすると，点\(P\)は，\(P_{k}(x_{k},y_{k})\) \((k=1,2,\cdots)\)として，\(\displaystyle \left(\begin{array}{r} x_{n+1} \\ y_{n+1} \\ \end{array}\right)=A\left(\begin{array}{r} x_{n} \\ y_{n} \\ \end{array}\right)\)となるように変換される．このとき，行\(A\)によって点\(P\)は順番に第一象限，第二象限，第三象限，第四象限と変換されていき，\(n\)回目で初めて\((1,0)\)となるようにする．(つまり，\((1,0)\)→第一象限→第二象限→第三象限→第四象限→\((1,0)\))
\(L=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(P_{1}P_{0}+P_{2}P_{0}+\cdots+P_{n}P_{0})\)を求めよ．（オリジナル）
解答
まず，\(\tan\displaystyle \frac{\theta}{2}=a\)とおくと，\(\sin\displaystyle \theta=\frac{2a}{1+a^{2}}\)，\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}\)となるので，\(A=\displaystyle \left(\begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{array}\right)\)となる．ゆえに\(A^{n}=\displaystyle \left(\begin{array}{rr} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \\ \end{array}\right)\)となる．
よって，\(\displaystyle \left(\begin{array}{r} x_{n} \\ y_{n} \\ \end{array}\right)=A^{n}\left(\begin{array}{r} x_{0} \\ y_{0} \\ \end{array}\right)\)から，\((x_{n},y_{n})=(\cos n\theta,\sin n\theta)\)
また，\(n\theta=2\pi\)が成り立つ．
よって，\(P_{k}P_{0}\)\(=\displaystyle \sqrt{(1-\cos k\theta)^{2}+(\sin k\theta)^{2}}\)\(=\displaystyle \sqrt{2-2\cos k\theta}=2\left|\sin\frac{k}{2}\theta\right|\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}P_{k}P_{0}\)\(=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2\left|\sin\frac{k}{n}\pi\right|\)\(=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2\sin\frac{k}{n}\pi\) (\(∵1 \leqq k\leqq n\)で\(\sin\displaystyle \frac{k}{n}\pi \geqq 0\)）
∴\(L=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}P_{k}P_{0}\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}2\sin\pi xdx\)\(=\displaystyle \left[-\frac{2}{\pi}\cos\pi x\right]_{0}^{1}\)\(=\displaystyle \frac{4}{\pi}\)