上級者
数学A：確率
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ヒント：期待値を求めるときは，ある\(k\)の時の確率\(P\)を求め，\(kP\)を足していけばよい．
問題
\(n\)人の人が赤旗と白旗を持っている．合図と同時にいずれかをあげなければならない．赤旗をあげる確率を\(p\)とする．赤い旗をあげる人の期待値を求めよ．
解答
\(n\)人のうち\(k\)人が赤旗をあげるとすると，その確率\(P\)は
\(P={}_{n}C_{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)
よって期待値は\(k=0\)から\(n\)まで足せばよいので，
\(E=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}kP\)\(=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}k{}_{n}C_{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)\(=\displaystyle n\sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}\)\((∵k{}_{n}C_{k}=n{}_{n-1}C_{k-1})\)
また，二項定理で\((p+q)^{n}\)\(=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_{n}C_{k}p^{k}q^{n-k}\)を用いれば，
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}\)\(=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}{}_{n-1}C_{k}p^{k+1}(1-p)^{n-(k+1)}\)\(=\displaystyle p\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n-1}C_{k}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}\)\(=p(p+q)^{n-1}=p\)\((∵p+q=1)\)
よって\(E=np\)