上級者
数学A：確率
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ヒント：確率という名の不等式問題になります．
問題（オリジナル）
あるコンピュータプログラムを使い，仮想的に\(A,B\)2人でじゃんけんを行う．なお，コンピュータの設定でじゃんけんのグー・チョキ・パーの出す確率を変えられるとする．
①じゃんけんの設定で\(A,B\)のグー・チョキ・パーの出す確率を同じとする場合，2回じゃんけんした時の\(A\)が勝ち越す確率\(P_{A}\)の範囲を求めよ．
②\(n\)回じゃんけんした時に全て勝ち続けるか，あいこになり続けるか，負け続ける場合の確率\(X\)の範囲を求めよ．
解答
①グーを出す確率を\(a\)，チョキを出す確率を\(b\)，パーを出す確率を\(c\)とする．
\(A\)が1回のじゃんけんで勝つ確率\(P\)は，\(P=ab+bc+ca\cdots(1)\)
\(A\)が1回のじゃんけんであいこになる確率\(Q\)は，\(Q=a^2+b^2+c^2\cdots(2)\)
\(A\)が1回のじゃんけんで負ける確率\(R\)は，\(R=ac+ba+cb\cdots(3)\)
なお，\(a+b+c=1\cdots(4)\)，\(P+Q+R=1\cdots(5)\)である．\(P=R\cdots(6)\)
また，\(A\)の勝敗表は次の通りとなる．
\[
\begin{array}{cc}
\hline
パターン&通り&確率 \\ \hline
〇 〇 & 1 & P^2 \\
〇 △ & 2 & PQ \\
〇 × & 2 & PR \\
△ △ & 1 & Q^2 \\
△ × & 2 & QR \\
× × & 1 & R^2 \\ \hline
\end{array}
\]
よって，\(A\)が勝ち越す確率を\(P_{A}=P^2+2PQ=P(P+2Q)\cdots(7)\)
\((5),(6),(7)\)より，\(P\)のみの関数とすると，
\(P_{A}=-3P^2+2P\)
ここで，\(P\)の範囲を調べる．
\((1),(4)\)より，\(a\)を消去して整理すると，
\(P=bc+(b+c)(1-b-c)\)\(=\displaystyle -(b-\frac{1-c}{2})^2-\frac{3}{4}(c-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}\)
\(P\)の範囲は，\(\displaystyle 0\leqq P \leqq \frac{1}{3}\)
また，\(P_{A}=-3P^2+2P\)\(=\displaystyle -3(P-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}\)
よって，\(\displaystyle 0\leqq P_{A} \leqq \frac{1}{3}\)となる．
なお，\(P_{A}=0\)の時，\(P=0\)となり，\((a,b,c)\)\(=(1,0,0)\),\((0,1,0)\),\((0,0,1)\)となる．
\(\displaystyle P_{A}=\frac{1}{3}\)の時，\(\displaystyle P=\frac{1}{3}\)となり，\((a,b,c)\)\(=\displaystyle a=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})\)となる．
②
\(A\)が1回のじゃんけんで勝つ確率を\(P\)，あいこになる確率を\(Q\)，負ける確率を\(R\)とすると，\(P+Q+R=1\cdots(5)\)
\(n\)回勝ち続ける確率\(X_{1}\)は，\(X_{1}=P^n\)
\(n\)回あいこになり続ける確率\(X_{2}\)は，\(X_{2}=Q^n\)
\(n\)回負け続ける確率\(X_{3}\)は，\(X_{3}=R^n\)
よって，\(X=X_{1}+X_{2}+X_{3}\)\(=P^n+Q^n+R^n\)
まずは最小値を求める．
ここで，\(f(x)=x^n\)は\(x\geqq 0\)において，凸関数となる．
よってイェンゼンの不等式において，\(\displaystyle \frac{f(P)+f(Q)+f(R)}{3} \geqq f\left(\frac{P+Q+R}{3}\right)\)が成立する．
よって，\(\displaystyle \frac{P^n+Q^n+R^n}{3}\)\(\displaystyle \geqq \left(\frac{P+Q+R}{3}\right)^n\)\(=\displaystyle \frac{1}{3^n}\)が成立する．
よって，\(X\)\(\geqq \displaystyle \frac{1}{3^{n-1}}\)
等号成立は\(\displaystyle P=Q=R=\frac{1}{3}\)
※イェンゼンの不等式はこちら
一方最大値は，\(P=1,Q=R=0\) or \(Q=1,P=R=0\) or \(R=1,P=Q=0\)の時で，\(X=1\)
よって，\(\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}}\)\(\leqq X\)\(\leqq 1\)