上級者
数学A：確率
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ヒント：確率漸化式です．\(n+1\)と\(n\)の関係を使いましょう．今回の問題のように複雑な式になる場合もあります．
問題
サイコロを\(n\)回投げる．全ての目の出る確率が同様に確からしい場合，次の問いに答えよ．
(1)出た目の和が7の倍数となる確率を求めよ．（1994 京大と同じ）
(2)出た目の和が\(n\)回目で初めて6の倍数となる確率を求めよ．
(3)出た目の和が5の倍数となる確率を求めよ．（類 2000 京大）
解答
(1)
\(n\)回目で出た目の和が7の倍数の確率を\(a_{n}\)とする．
\(n+1\)回目で出た目の和が7の倍数になる確率\(a_{n+1}\)について，
①\(n\)回目で出た目の和が7の倍数の確率\(a_{n}\)の時は，\(n+1\)回目で7の倍数になる確率は0
②\(n\)回目で出た目の和が7の倍数でない確率\(1-a_{n}\)の時は，それぞれの目に対して次のように対応できるため，\(n+1\)回目で7の倍数になる確率は\(\displaystyle \frac{1}{6}\)である．
※和が\(7k+1\)の時は6，和が\(7k+2\)の時は5，…和が\(7k+6\)の時は1となる．
よって，\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{6}(1-a_{n})\)
ここで，\(\displaystyle a_{1}=0\)となる．
この漸化式を解くと，\(\displaystyle a_{n}=\frac{1}{7}-\frac{1}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}\)
(2)
\(n\)回目に初めて出た目の和が6の倍数になる確率を\(a_{n}\)とする．
ここで\(n+1\)回目に初めて出た目の和が6の倍数になる確率\(a_{n+1}\)は，
①\(n\)回目までに和が6の倍数にならず，②\(n+1\)回目で初めて和が6の倍数になる確率である．
①については，1回目で初めて和が6の倍数になる確率\(a_{1}\)＋…＋n回目で初めて和が6の倍数になる確率\(a_{n}\)の余事象であるため，\(=1-(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})\)
②については，6で割った余りが1の時は，サイコロの出る目が5，6で割った余りが2の時は，サイコロの出る目が4，…となればよい．この確率はそれぞれで\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
よって，\(a_{n+1}\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}(1-(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}))\)
さらに，\(a_{n}\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}(1-(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}))\)
この差を取ると，\(a_{n+1}\)\(=\displaystyle \frac{5}{6}a_{n}\)
ここで，\(\displaystyle a_{1}=\frac{1}{6}\)
よって，\(a_{n}=\displaystyle \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}a_{1}\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\)
(3)
\(n\)回目で出た目の和を5で割った余りが\(k\)の確率を\(a_{n}(k)\)とする．
この場合，\(n+1\)回目で出た目の和を5で割った余りが\(0\)の確率\(a_{n}(0)\)は次のようになる．
\(a_{n+1}(0)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}a_{n}(0)+\frac{1}{6}a_{n}(1)+\frac{1}{6}a_{n}(2)+\frac{1}{6}a_{n}(3)+\frac{2}{6}a_{n}(4)+\frac{1}{6}a_{n}(5)+\frac{1}{6}a_{n}(6)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}\left(1+a_{n}(4)\right)\)
これと同様に\(n+1\)回目で出た目の和を5で割った余りが\(k\)の確率\(a_{n}(k)\)は次のようになる．
\(a_{n+1}(0)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}\left(1+a_{n}(4)\right)\)
\(a_{n+1}(1)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}\left(1+a_{n}(0)\right)\)
\(a_{n+1}(2)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}\left(1+a_{n}(1)\right)\)
\(a_{n+1}(3)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}\left(1+a_{n}(2)\right)\)
\(a_{n+1}(4)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}\left(1+a_{n}(3)\right)\)
ここで，\(\displaystyle b_{n}=a_{n}-\frac{1}{5}\)と置くと，
\(b_{n+1}(0)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}b_{n}(4)\)
\(b_{n+1}(1)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}b_{n}(0)\)
\(b_{n+1}(2)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}b_{n}(1)\)
\(b_{n+1}(3)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}b_{n}(2)\)
\(b_{n+1}(4)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}b_{n}(3)\)
ここで，この問題は5の倍数となる確率を求めるので，余りが0の場合について考える．
\(b_{n}(0)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}b_{n-1}(4)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6^2}b_{n-2}(3)\)\(\cdots\)\(=\displaystyle \frac{1}{6^4}b_{n-4}(1)\)\(=\displaystyle \frac{1}{6^{n-1}}b_{1}(t)\)
ここで，\(b_{1}(t)\)の各値を求める．
\(b_{1}(0)\)\(=\displaystyle a_{1}(0)-\frac{1}{5}\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{1}{5}\)\(=\displaystyle -\frac{1}{30}\)
\(b_{1}(1)\)\(=\displaystyle a_{1}(1)-\frac{1}{5}\)\(=\displaystyle \frac{2}{6}-\frac{1}{5}\)\(=\displaystyle \frac{2}{15}\)
\(b_{1}(2)\)\(=\displaystyle -\frac{1}{30}\)
\(b_{1}(3)\)\(=\displaystyle -\frac{1}{30}\)
\(b_{1}(4)\)\(=\displaystyle -\frac{1}{30}\)
ここで，\(n\)が5の倍数の時，\(t=1\)となり，その時の\(b_{1}(t)\)\(=\displaystyle \frac{2}{15}\)となる．
よって，\(b_{n}\)\(=\displaystyle \frac{2}{15}\frac{1}{6^{n-1}}\) \(\Leftrightarrow\) \(a_{n}\)\(=\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{4}{5}\frac{1}{6^n}\)
\(n\)が5の倍数でない場合は，その時の\(b_{1}(t)\)\(=\displaystyle -\frac{1}{30}\)となる．
よって，\(b_{n}\)\(=\displaystyle -\frac{1}{30}\frac{1}{6^{n-1}}\) \(\Leftrightarrow\) \(a_{n}\)\(=\displaystyle \frac{1}{5}-\frac{1}{5}\frac{1}{6^n}\)
※出た目の和が\(m\)の倍数となる確率は次のようになります．
こちらのページを参考にさせていただきました！
\(f(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n\)，\(\displaystyle a=\cos\left(\frac{2\pi}{m}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{m}\right)\)とすると，
\(\displaystyle \frac{1}{m\cdot 6^n}\sum_{k=1}^{m}f(a^k)\)