中級者
数学A：確率
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ヒント：\(n+1\)回目の確率が\(n\)回目の確率と関係するとき，漸化式を立てることを考えよう．
問題
正四面体\(ABCD\)がある．各頂点から隣の頂点に移動する確率が同じ確率である場合，頂点\(A\)からスタートして，\(n\)回の移動で点\(A\)にいる確率\(p_{n}\)を求めよ．(オリジナル，有名問題)
解答
\(n+1\)回目に点\(A\)に移動するには，\(n\)回目に点\(A\)以外から点\(A\)に移動すればよい．
ここで\(n+1\)回目に点\(A\)にいる確率は\(p_{n+1}\)
\(n\)回目に点\(A\)以外にいる確率は\(1-p_{n}\)，点\(A\)以外から点\(A\)に移動する確率は\(\displaystyle \frac{1}{3}\)
よって，確率漸化式は次のようになる．
\(\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{3}(1-p_{n})\)
\(p_{0}=1\)でこの漸化式を解くと，
\(\displaystyle p_{n}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}(-\frac{1}{3})^n\)
参考入試問題
数直線上を原点から右(正の向き)に硬貨を投げて進む．
表が出れば1進み，裏が出れば2進むものとする．このようにして，ちょうど点\(n\)に到達する確率を\(p_{n}\)で表す．ただし，\(n\)は自然数とする．
(1)2以上の\(n\)について，\(p_{n+1}\)と\(p_{n},p_{n-1}\)との関係式を求めよ．
(2)\(p_{n}(n \geqq 3)\)を求めよ．(1983 京大)
解答
(1)点\(n+1\)に到達する方法として，
①点\(n\)から1進む．確率は\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
②点\(n−1\)から2進む．確率は\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
よって点\(n+1\)に到達する確率\(p_{n+1}\)は\(p_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}p_{n}+\frac{1}{2}p_{n-1}\)となる．
(2)
この漸化式を解くと，
\(p_{n}=\displaystyle \frac{2}{3}-\frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^{n+1}\)