上級者
関数
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ヒント：1．最大値，最小値を求める＝範囲を求める．2．与えられた式\(=k\)と置く．３．求めたい範囲の関数を別の関数で置き，範囲を求める．
問題
\(x,y\)が2つの不等式\(x \geqq y\cdots\)①，\(y\geqq x^{2}-3x+1\cdots\)②を満たすとき，
\(\displaystyle \frac{x^{2}}{3x^{2}-4xy+2y^{2}}\)のとりうる値の最大値，最小値を求めよ．(オリジナル)
解答
まず，\(x=0\)のとき，①\(\Leftrightarrow\) \(y\leqq 0\)，②\(\Leftrightarrow\) \(y\geqq 1\)となるので，不適となる．よって\(\displaystyle \frac{x^{2}}{3x^{2}-4xy+2y^{2}}=\frac{1}{k}\)とおける．(\(k\)は実数の範囲)
変形させて\((3-k)x^{2}-4xy+2y^{2}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle 2\left(\frac{y}{x}\right)^{2}-4\left(\frac{y}{x}\right)+3-k=0\)で，\(t=\displaystyle \frac{y}{x}\)とおくと，\(2t^{2}-4t+3-k=0\) \(\Leftrightarrow\) \(2(t-1)^{2}+1-k=0\cdots\)③
ここで，\(y=tx\)で①，②を満たす\(t\)の範囲は\(−1\leqq t\leqq1\cdots\)④となる．
\(f(t)=2(t-1)^{2}+1-k\)，\(f(1)=1−k\)，\(f(−1)=9−k\)
③④より，\(1−k\leqq 0 \leqq 9−k\)\(\Leftrightarrow\) \(1\leqq k\leqq 9\)
よって最大値は9，最小値は1となる．