上級者
二次関数
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今回は文章を適切に読み，適切に条件を置くこと．後は，計算問題です．
問題
放物線\(y=x^2\)から接線を2本引く．放物線と接線に囲まれる面積を\(S\)，各接点と接線同士の交点までの距離を\(d_{1}\)，\(d_{2}\)とする．2つの接点を通る直線が放物線の焦点\(\displaystyle \left(0,\frac{1}{4}\right)\)を通るとき，\(\displaystyle \frac{S}{d_{1}d_{2}}\)が一定であることを示せ．(オリジナル)
解答
接点を\((a,a^2)\)，\((b,b^2)\) \((a<b)\)と置くと，\(\displaystyle S=\frac{1}{12}(b-a)^3\)
接線同士の交点は\(\displaystyle \left(\frac{a+b}{2},~ab\right)\)となる．
次に，\((a,a^2)\)側の接点と接線同士の交点の距離を\(d_{1}\)とすると，\(\displaystyle d_{1}=\sqrt{(a-\frac{a+b}{2})^2+(a^2-ab)^2}\)\(\displaystyle =(b-a)\sqrt{\frac{1}{4}+a^2}\)
次に，\((b,b^2)\)側の接点と接線同士の交点の距離を\(d_{2}\)とすると，\(\displaystyle d_{2}=\sqrt{(b-\frac{a+b}{2})^2+(b^2-ab)^2}\)\(\displaystyle =(b-a)\sqrt{\frac{1}{4}+b^2}\)
よって，\(\displaystyle d_{1}d_{2}=(b-a)^2\sqrt{(\frac{1}{4}+a^2)(\frac{1}{4}+b^2)}\)\(\displaystyle =(b-a)^2\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}(a^2+b^2)+(ab)^2}\)
ここで，2つの接点を通る直線を\(\displaystyle y=mx+\frac{1}{4}\)とすると，
\(\displaystyle x^2=mx+\frac{1}{4}\)の解が接点となるため，解と係数の関係より，\(a+b=m\)，\(\displaystyle ab=-\frac{1}{4}\)
よって，\(\displaystyle S=\frac{1}{12}(b-a)^3\)\(=\displaystyle \frac{1}{12}(m^2+1)^\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle d_{1}d_{2}\)\(\displaystyle =(m^2+1)\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}(m^2)+(-\frac{1}{4})^2}\)\(\displaystyle =\frac{1}{2}(m^2+1)\sqrt{m^2+1}\)
よって，\(\displaystyle \frac{S}{d_{1}d_{2}}\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}\)＝一定