上級者
二次関数
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文系の範囲で解ける問題です．計算を適切に行い，文字を置いたときの範囲を忘れないでください．
問題
放物線\(y=\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}\)上に点\(A\),点\(B\)が存在する．点\(A\),点\(B\)の接線同士が直交する時に，距離\(AB\)が最小となる時の距離を求めよ．（類 東工大）
解答
2つの接点を\(A\left(a^{2},\displaystyle \frac{a^{2}}{2}\right)\)，\(\displaystyle B\left(b^{2},\frac{b^{2}}{2}\right)\)とおく．(\(a<b\)…①としてもよい．)
ここで，接線同士が直交するため，\(ab=−1\)…②
点\(AB\)の距離\(L\)は，
\(\displaystyle L^2=(b-a)^2+\frac{1}{4}(b^2-a^2)^2\)…③
②③より\(a\)を消去して整理すると，
\(\displaystyle L^2=\frac{1}{4}\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)^2+\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)-1\)…④
ここで，\(b^2>0\)より，\(\displaystyle b^2+\frac{1}{b^2}\)\(\displaystyle \geqq 2\sqrt{b^2\cdot\frac{1}{b^2}}=2\) 等号成立は\(\displaystyle b^2=\frac{1}{b^2}\) つまり，\(b=1\) (\(a<b,~ab=-1\)より，\(b>0\))
一方，\(\displaystyle b^2+\frac{1}{b^2}=t\)と置くと，
\(\displaystyle L^2=\frac{1}{4}t^2+t-1\)\(\displaystyle =\frac{1}{4}(t+2)^2-2\) \((t\geqq 2)\)
よって，\(L^2\)の最小値は\(t=2\)で，値は2．つまり点\(AB\)の距離が最小となる時の値は\(\sqrt{2}\)である．
参考入試問題
点\(P\)から放物線\(y=\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}\)へ2本接線が引けるとき，2つの接線を\(A,B\)とし，線分\(PA,PB\)および，この放物線で囲まれる図形の面積を\(S\)とする．\(PA,PB\)が直交するときの\(S\)の最小値を求めよ．(09東工大)
解答
2つの接点を\(A\left(a^{2},\displaystyle \frac{a^{2}}{2}\right)\)，\(\displaystyle B\left(b^{2},\frac{b^{2}}{2}\right)\)とおく．(\(a<b\)…①としてもよい．)
ここで，直線\(PA:y_{A}=ax-\displaystyle \frac{a^{2}}{2}\) 直線\(PB:y_{B}=bx-\displaystyle \frac{b^{2}}{2}\)
この2つの直線は垂直に交わるので，\(ab=−1\)…②
①②により，\(b>0\)…③
つぎに点\(P\)は直線\(PA,PB\)の交点から\(P\left(\displaystyle \frac{a+b}{2},ab\right)\)となる．(\(y\)座標はここでは求めなくてよい．)
よって求める面積\(S\)は
\(S=\displaystyle \int_{a}^{\frac{a+b}{2}}\left(\frac{x^{2}}{2}-y_{A}\right)dx\)\(\displaystyle +\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}\left(\frac{x^{2}}{2}-y_{B}\right)dx\)\(=\displaystyle \int_{a}^{\frac{a+b}{2}}\frac{1}{2}(x-a)^{2}dx\)\(\displaystyle +\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}\frac{1}{2}(x-b)^{2}dx\)\(=\displaystyle \frac{1}{24}(b-a)^{3}\)…④
ここで，②④から\(S=\displaystyle \frac{1}{24}\left(b+\frac{1}{b}\right)^{3}\)\(\displaystyle \geqq\frac{1}{24}\left(2\cdot\sqrt{b\cdot\frac{1}{b}}\right)^{3}\)\(=\displaystyle \frac{1}{3}\)となる．(③の条件により相加相乗平均が使える．) 等号成立条件は\(b=\displaystyle \frac{1}{b}\)で\(b=1\)となる．
よって\(S\)の最小値は\(\displaystyle \frac{1}{3}\)でそのとき，\(b=1,a=−1\)となる．