上級者
二次関数
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条件を適切に式に置くことから初めて，後は式をゴリゴリ解いていきましょう．
問題
放物線\(y=ax^{2}+bx+c\)が2直線\(y=sx+u\)，\(y=tx+u\)と接する場合，その接点の\(x\)座標の和が0であることを示せ．ただし\(s \neq t\)である．(オリジナル)
解答
連立方程式をたてて変形すると，
\(ax^{2}+(b-s)x+c-u=0\)
\(ax^{2}+(b-t)x+c-u=0\)
接するということは重解を持つ，つまりこれらの方程式の判別式が0になればよい．
よって
\((b-s)^{2}-4a(c-u)=0\)…①
\((b-t)^{2}-4a(c-u)=0\)…②
一方，\(y=sx+u\)，\(y=tx+u\)と放物線との交点の\(x\)座標を\(\alpha,\beta\)と置くと，
放物線と2直線の傾きが等しいため，
\(s=2a\alpha+b\)…③
\(t=2a\beta+b\)…④
ここで①-②より式変形すると，
\((s-t)(s+t-2b)=0\)
\(s \neq t\)より，\(s+t=2b\)…⑤
また，③＋④より，
\(s+t=2a(\alpha+\beta)+2b\)…⑥
⑥に⑤を代入すると，
\(2a(\alpha+\beta)=0\)
ここで，放物線の条件より，\(a\neq 0\)
よって，\(\alpha+\beta=0\)
これより接点の\(x\)座標の和が0であることが示された．
参考入試問題
放物線\(y=ax^{2}+bx+c\)が3直線
\(y=x\)，\(y=2x−1\)，\(y=3x−3\)のすべてと接するとき，\(a,b,c\)の値を求めよ．(2005 京都大)
解答
放物線より\(a \neq 0\)
連立方程式をたてて変形すると，
\(ax^{2}+(b-1)x+c=0\)
\(ax^{2}+(b-2)x+c+1=0\)
\(ax^{2}+(b-3)x+c+3=0\)
これらの判別式が全て0になればよい．
よって
\((b-1)^{2}-4ac=0\)…①
\((b-2)^{2}-4a(c+1)=0\)…②
\((b-3)^{2}-4a(c+3)=0\)…③
①−②から\(2b−3+4a=0\)…④
②−③から\(2b−5+8a=0\)…⑤
④，⑤を解くと，\(a=\displaystyle \frac{1}{2},b=\frac{1}{2}\)
いずれかに代入して解けば，\(c=\displaystyle \frac{1}{8}\)