中級者
数学Ⅰ：二次関数，数学A：整数
-
ヒント：二次関数の条件を使って，整数の範囲を絞っていこう．
問題
2次方程式\(ax^{2}-bx+c=0\)において，\(a,b,c\)は\(a^2+b^2+c^2 \leqq 100\)を満たす自然数であり，\(a,b,c\)は1以外の共通因数を持たない．また，2つの有理数解を持ち，片方の解\(\alpha\)は\(1<\alpha<3\)，もう片方の解\(\beta\)は\(\beta\geqq 3\)を満たす．このとき，\(a,b,c\)の値を求めよ．(オリジナル)
解答
2次方程式が有理数を持つということは，因数分解したときに\((sx-t)(ux-v)=0\)（今回は\(s,t\)と\(u,v\)は互いに素の整数）と置くことができる\((\star)\)．
\(a,b,c\)は\(a^2+b^2+c^2 \leqq 100\)を満たす自然数であることから，大きな範囲として\(1 \leqq a,b,c \leqq 9\)である．
まず2つの解を持つ条件として，\(D=b^2-4ac\geqq 0\)（重解でもよい）
\(a^2+b^2+c^2 \leqq 100\)と合わせて，
\(4ac \leqq b^2 \leqq 100-a^2-c^2\)
よって，\((a+c)^2 \leqq 100-2ac <100\)
\(a,c\)は自然数であることから，
\(2\leqq a+c \leqq 9\)…①
また，\(f(x)=ax^2-bx+c\)と置くと，\(1<x<3\)の間に1つの解，\(x\geqq 3\)にもう1つの解を持つ条件は，\(f(1)>0\)，\(f(3)\leqq 0\)となる．よって，\(a-b+c>0\)…②，\(9a-3b+c\leqq 0\)…③
ここで，③-①より，\(8a-3b\leqq -9\) \(\Leftrightarrow\) \(8a<-9+3b\leqq 18\)
よって，\(a=1,2\)
(i) \(a=1\)の時，\((x-\alpha)(x-\beta)=0\)となる．
よって，\(\alpha=2\)，\(\beta \geqq 3\)である．
また，\(b=2+\beta\)，\(c=2\beta\)となる．
ここで，\(c\leqq 9\)より，\(\beta=3,4\)である．\(\beta=3\)の時は，\(a=1,b=5,c=6\)であり，これは，\(a^2+b^2+c^2 \leqq 100\)を満たすが，\(\beta=4\)の時は，\(a=1,b=6,c=8\)で，\(a^2+b^2+c^2 \leqq 100\)を満たさない．
(ii)\(a=2\)の時，(A)\((2x-2\alpha)(x-\beta)=0\) or (B)\((2x-2\beta)(x-\alpha)=0\)となる．
(A)の場合，\(2\alpha+2\beta=b\leqq 9\)，\(2\alpha\beta=c\leqq 9\)が成り立つ．\(1<\alpha<3\)，\(\beta\geqq 3\)を満たす\(\alpha,\beta\)は，\(\displaystyle (\alpha,\beta)=\left(\frac{3}{2},3\right)\)で，\(a=2,b=9,c=9\)となる．しかし，これは\(a^2+b^2+c^2 \leqq 100\)を満たさない．
(B)の場合，\(2\beta+2\alpha=b\leqq 9\)，\(2\alpha\beta=c\leqq 9\)が成り立つ．\(1<\alpha<3\)，\(\beta\geqq 3\)を満たす\(\alpha,\beta\)は，存在しない．
以上より，答えは，\(a=1,b=5,c=6\)
※このような問題は値を求める時に必要十分性が成立していないので，求めた値が条件を満たしているか最後に確認しよう．
参考入試問題
2次方程式\(ax^{2}-bx+3c=0\)において，\(a,b,c\)の1桁の自然数であり，2つの解\(\alpha\),\(\beta\)は\(1<\alpha<2\)，\(5<\beta<6\)を満たす．このとき，\(a,b,c\)の値を求めよ．(京都大)
解答
\(f(x)=ax^{2}-bx+3c\)とおく．
条件として\(f(1)>0,f(2)<0,f(5)<0,f(6)>0\)
これより，
\(a−b+3c>0\)…①
\(4a−2b+3c<0\)…②
\(25a−5b+3c<0\)…③
\(36a−6b+3c>0\)…④
② ⇔ \(−4a+2b−3c>0\)…⑤
③ ⇔ \(−25a+5b−3c>0\)…⑥
①+⑥から変形させると\(b>6a\)
\(a,b\)は1桁の自然数だから\(a=1\)
これから\(b=7,8,9\)
④+⑤から変形させると\(b<8a\)
これより，\(b=7\)
①～④から\(3c>6,3c<10\)
よって\(c=3\)