中級者
数学Ⅰ：二次関数
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ヒント：絶対値についてしっかりと場合分けを行おう．グラフを描くとより分かりやすくなる．
問題
\(|x^{2}-2x-4|<2|x|+1\)の不等式を解け．
解答
不等式の場合分けで解く．
\(x^{2}-2x-4<0\) \(\Leftrightarrow\) \(1-\sqrt{5}<x<1+\sqrt{5}\)を基準とする．
①\(x^{2}-2x-4<0,~x<0\)の場合\((1-\sqrt{5}<x<0)\)
\(-x^{2}+2x+4<-2x+1\) \(\Leftrightarrow\) \(x^{2}-4x-3>0\) \(\Leftrightarrow\) \(x<2-\sqrt{7},~x>2+\sqrt{7}\)
\(1-\sqrt{5}<2-\sqrt{7}\)なので，\(1-\sqrt{5}<x<2-\sqrt{7}\)
②\(x^{2}-2x-4<0,~x\geqq 0\)の場合\((0\leqq x<1+\sqrt{5})\)
\(-x^{2}+2x+4<2x+1\) \(\Leftrightarrow\) \(x^{2}-3>0\) \(\Leftrightarrow\) \(x<-\sqrt{3},~x>\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}<1+\sqrt{5}\)なので，\(\sqrt{3}<x<1+\sqrt{5}\)
③\(x^{2}-2x-4\geqq 0,~x<0\)の場合\((1-\sqrt{5}\geqq x)\)
\(x^{2}-2x-4<-2x+1\) \(\Leftrightarrow\) \(x^{2}<5\) \(\Leftrightarrow\) \(-\sqrt{5}<x\sqrt{5}\)
\(-\sqrt{5}<1-\sqrt{5}\)なので，\(-\sqrt{5}<x\leqq 1-\sqrt{5}\)
④\(x^{2}-2x-4\geqq 0,~x\geqq 0\)の場合\((x\geqq 1+\sqrt{5})\)
\(x^{2}-2x-4<2x+1\) \(\Leftrightarrow\) \(x^{2}-4x-5<0\) \(\Leftrightarrow\) \(-1<x<5\)
よって，\(1+\sqrt{5}\leqq x<5\)
以上から
\(-\sqrt{5}<x<2-\sqrt{7},~\sqrt{3}<x<5\)
別解
グラフの交点を求めて，不等式を満たすような範囲を求める．
参考入試問題
関数\(f(x)=x^{2}-4|x|+k\)の最小値を\(m(k)\),最大値を\(M(k)\)とする．
(1)\(m(k)=2\)のとき，定数\(k\)の値を求めよ．
(2)\(−1≦x≦5\)のとき，\(m(k),M(k)\)を\(k\)で表せ．
(3)\(f(x)=0\)の解が4つになるような\(k\)の値の範囲を求めよ．
(4)関数\(y=f(x)\)のグラフを直線\(y=k\)に関して対称移動するとき，その関数の最大値を求めよ．(00滋賀医大)
解答
グラフを書けば，ほとんど分かる．
(1)すべての\(x\)の範囲では最小値\(m(k)=k−4\)となる．
よって\(k=6\)
(2)最小値は\(x=2\)で，\(m(k)=k−4\) 最大値は\(x=5\)で，\(M(k)=k+5\)
(3)\(f(x)=0\)の解が4つ ⇔ グラフで\(x\)軸との交点が4つ
よって\(k−4<0<k\) ⇔ \(0<k<4\)
(4)\(y=k\)に関して対称移動すると，関数は\(y=-x^{2}+4|x|+k\)となり，最大値は\(x=\pm 2\)で\(k+4\)
チェック
\(y=f(x)\)を\(x=a\)で対称移動すると，\(y=f(−x+2a)\)となる．