MATH

ヒント：数列の和\(S_{n}\)を含む数列は\(S_{n}-S_{n-1}=a_{n}\)を作って，\(a_{n}\)のみの漸化式にするが，今回もそのような形を考える．

\(a_{1}=1,a_{n}+2a_{n-1}+\cdots+na_{1}=2a_{n+1}\)を満たす数列を求めよ．（オリジナル）

解説

一般項を求めるときに注意することあり．使っていい\(n\)を見極めろ．

\(a_{n}+2a_{n-1}+\cdots+na_{1}=2a_{n+1}\cdots①(n\geqq 1)\)

\(a_{n+1}+2a_{n}+\cdots+(n+1)a_{1}=2a_{n+2}\cdots①^{\prime}(n\geqq 0)\)

\(①^{\prime}-①\)から

\(a_{n+1}+a_{n}+\cdots+a_{1}=2(a_{n+2}-a_{n+1})\cdots②(n\geqq 1)\)

\(a_{n}+a_{n-1}+\cdots+a_{1}=2(a_{n+1}-a_{n})\cdots②^{\prime}(n\geqq 2)\)

\(②^{\prime}-②\)から

\(a_{n+1}=2a_{n+2}-4a_{n+1}+2a_{n}\Leftrightarrow 2a_{n+2}-5a_{n+1}+2a_{n}=0\cdots③(n\geqq 2)\)

\(③\displaystyle \Leftrightarrow a_{n+2}-\frac{1}{2}a_{n+1}=2\left(a_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n}\right)\)

∴\(a_{n+1}-\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}=2^{n-2}\left(a_{3}-\frac{1}{2}a_{2}\right)\) (\(n\geqq 2)\)

ここで，\(①\)もしくは\(②\)と\(a_{1}=1\)から，\(a_{2}=\displaystyle \frac{1}{2},~ a_{3}=\frac{5}{4}\)

∴\(a_{n+1}-\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}=2^{n-2}\cdots④\)

また\(③\displaystyle \Leftrightarrow a_{n+2}-2a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n+1}-2a_{n}\right)\)

∴\(a_{n+1}-2a_{n}=\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n-2}(a_{3}-2a_{2})\) (\(n\geqq 2)\)

∴\(a_{n+1}-2a_{n}=\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n}\cdots⑤\)

\(④−⑤\)から

\(\displaystyle \frac{3}{2}a_{n}=2^{n-2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)

\(a_{n}=\displaystyle \frac{1}{3}\left(2^{n-1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) ~(n\geqq 2)\)

\(a_{1}=1(n=1)\)

\(S_{n}\)や階差数列のときは\(n\)がずれるときがあるので注意するように．