上級者
数学B：数列
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ヒント：数列の和\(S_{n}\)は，教科書では\(S_{n}-S_{n-1}=a_{n}\)とすることで，\(a_{n}\)のみの漸化式にするが，今回は逆に\(S_{n}\)の漸化式にする．
問題
\(\{a_{n}\}\)の初項\(a_{1}\)から第\(n\)項\(a_{n}\)までの和を\(S_{n}\)とする．\(a_{1}=-1,S_{n}S_{n-1}=a_{n}\)を満たす数列\(a_{n}\)を求めよ．（オリジナル）
解答
\(S_{n}S_{n-1}=a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\)ここで，両辺を\(S_{n}S_{n-1}\)で割ると，
\(\displaystyle \frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_{n}}=1\)
よって，\(\displaystyle \frac{1}{S_{n}}=\frac{1}{S_{1}}-(n-1)\)
また，\(S_{1}=a_{1}=-1\)なので，\(\displaystyle \frac{1}{S_{n}}=-n\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle S_{n}=-\frac{1}{n}\)
よって，\(\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\frac{1}{n(n-1)}\) \((n \geqq 2)\)
\(a_{1}=1\) \((n=1)\)
参考入試問題
\(\{a_{n}\}\)の初項\(a_{1}\)から第\(n\)項\(a_{n}\)までの和を\(S_{n}\)とする．\(a_{1}=1,~\sqrt{S_{n-1}}+\sqrt{S_{n}}=a_{n}~(n\geqq 2)\)のとき，\(a_{n}\)を\(n\)を用いてあらわせ．（89 群馬大）
\(S_{n}=S_{n-1}\)が成り立つとき，\(a_{n}=0\)となり，明らかに不適．
よって，両辺に\(\sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}}\)をかけると，\(S_{n}-S_{n-1}=a_{n}(\sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}})\Leftrightarrow a_{n}(\sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}}-1)=0\)
ここで，\(a_{n}=\sqrt{S_{n-1}}+\sqrt{S_{n}}>0\)となるから，\(\sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}}=1\)
ゆえに，\(\sqrt{S_{n}}=\sqrt{S_{1}}+(n-1)=n\)
よって，\(S_{n}=n^{2}\)
以上より，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2n-1\)．これは\(n=1\)のときも成り立つ．