上級者
数学B：数列
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ヒント：フィボナッチ数列ですが，あまり関係ありません．
問題
\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=1\)のとき次のことを示せ．（オリジナル）
(1) \(n\)は4の倍数 \(\Leftrightarrow\) \(a_{n}\)は3の倍数
(2) \(a_{n}=n^{2}\)が成り立つとき，\(n\)を求めよ．
(3) \(\left[\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right]=0\)が\(n\geqq 3\)で成り立つことを示せ．
(4) \(a_{2n}=a_{n}(a_{n+1}+a_{n-1})\)が成り立つことを示せ．
(5) \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{2k-1}=a_{2n}\)が成り立つことを示せ．
\(\star\)ほかにもいろいろな性質がある．
1,\(\displaystyle a_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\}\)
2,\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
3,\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{n+2}-1\)
4,\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{2k}=a_{2n+1}-1\)
5,\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}=a_{n}a_{n+1}\)
6,\(a_{n-1}a_{n+1}-a_{n}^{2}=(-1)^{n}\)
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