上級者
数学B：数列
-
ヒント：漸化式を直接解く以外に，実験して推測される一般項を数学的帰納法で証明する方法があり，今回はそのパターン．
問題（オリジナル）
数列\(a_{n}\)は\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\(a_{3}=3\)，\(a_{n}a_{n+3}-a_{n+1}a_{n+2}\)\(=-2(a_{n+1}^2-a_{n}a_{n+2})\)を満たす時，この数列の一般項\(a_{n}\)を求めよ．
解答
\(a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3}\)\(=-2(a_{2}^2-a_{1}a_{3})\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{4}=4\)
よって，\(a_{n}=n\)であることが推測される．
(i)\(n=1\)，\(n=2\)，\(n=3\)の時，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\(a_{3}=3\)なので，\(a_{n}=n\)は成立する．
(ii)\(n=k\)，\(n=k+1\)，\(n=k+2\)の時，\(a_{k}=k\)，\(a_{k+1}=k+1\)，\(a_{k+2}=k+2\)が成り立つとすると，
\(a_{k}a_{k+3}-a_{k+1}a_{k+2}\)\(=-2(a_{k+1}^2-a_{k}a_{k+2})\)\(\Leftrightarrow\)\(ka_{k+3}-(k+1)(k+2)\)\(=-2((k+1)^2-k(k+2))\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{k+3}=k+3\)
よって，\(n=k+3\)で成立する．
以上，数学的帰納法より，\(a_{n}=n\)が成立する．
参考入試問題（2007 群馬大）
数列\(a_{n}\)は\(a_{1}\)\(=a_{2}\)\(=a_{3}\)\(=1\)，\(a_{100}=148\)であり，\(n\geqq 2\)のとき，
\(a_{n}a_{n+3}-a_{n+1}a_{n+2}\)\(=-(a_{n-1}a_{n+2}-a_{n}a_{n+1})\)かつ，\(a_{n}\neq 0\)を満たしている．この数列の一般項\(a_{n}\)を求めよ．
解答
\(a_{2}a_{5}-a_{3}a_{4}\)\(=-(a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3})\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{5}=1\)
\(a_{3}a_{6}-a_{4}a_{5}\)\(=-(a_{2}a_{5}-a_{3}a_{4})\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{6}=2a_{4}-1\)
\(a_{4}a_{7}-a_{5}a_{6}\)\(=-(a_{3}a_{6}-a_{4}a_{5})\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{7}=1\) (\(a_{4}\neq 0\))
\(a_{5}a_{8}-a_{6}a_{7}\)\(=-(a_{4}a_{7}-a_{5}a_{6})\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{8}=3a_{4}-2\)
\(a_{6}a_{9}-a_{7}a_{8}\)\(=-(a_{5}a_{8}-a_{6}a_{7})\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{9}=1\) (\(a_{6}\neq 0\))
\(a_{7}a_{10}-a_{8}a_{9}\)\(=-(a_{6}a_{9}-a_{7}a_{8})\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{10}=4a_{4}-3\)
よって，\(a_{2k-1}=1\)，\(a_{2k}=(k-1)a_{4}-(k-2)\)と推測される．
(i)\(n=1\)，\(n=2\)，\(n=3\)，\(n=4\)の時，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=1\)，\(a_{3}=1\)，\(a_{4}=a_{4}\)なので，\(a_{2k-1}=1\)，\(a_{2k}=(k-1)a_{4}-(k-2)\)は成立する．
(ii)\(n=2k-1\)，\(n=2k\)，\(n=2k+1\)，\(n=2k+2\)の時，\(a_{2k-1}=1\)，\(a_{2k}=(k-1)a_{4}-(k-2)\)，\(a_{2k+1}=1\)，\(a_{2k+2}=ka_{4}-(k-1)\)が成り立つとすると，
\(a_{2k}a_{2k+3}-a_{2k+1}a_{2k+2}\)\(=-(a_{2k-1}a_{2k+2}-a_{2k}a_{2k+1})\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{2k}a_{2k+3}=a_{2k}\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{2k+3}=1\) (\(a_{2k}\neq 0\))
\(a_{2k+1}a_{2k+4}-a_{2k+2}a_{2k+3}\)\(=-(a_{2k}a_{2k+3}-a_{2k+1}a_{2k+2})\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{2k+4}=2a_{2k+2}-a_{2k}\)\(\Leftrightarrow\)\(a_{2k+4}=(k+1)a_{4}-k\)
よって，\(n=2k+3\)，\(n=2k+4\)の場合も成立する．
以上，数学的帰納法より，\(a_{2k-1}=1\)，\(a_{2k}=(k-1)a_{4}-(k-2)\)が成立する．
ここで，\(a_{100}=148\)より，\(k=50\)で\(a_{100}=49a_{4}-48\)から，\(a_{4}=4\)となる．
よって，\(a_{2k}=(k-1)a_{4}-(k-2)\)\(=3k-2\)で\(a_{n}\)\(=\displaystyle \frac{3n}{2}-2\)
以上より，\(n\)が奇数の時，\(a_{n}=1\)，\(n\)が偶数の時，\(a_{n}\)\(=\displaystyle \frac{3n}{2}-2\)