上級者
数学B：数列
-
ヒント：ガウス記号を使った数列は群数列になる．群数列の数と範囲を確認しよう．
問題（典型問題）
実数\(x\)，整数\(n\)に対し，\(n\leqq x<n+1\)を満たす場合に\([x]=n\)と表す．正の整数\(k\)に対して，\(a_{k}\)\(=[\sqrt{k}]\)とする時，\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2020}a_{k}\)を求めよ．
解答
条件より\(n\)\(\leqq \sqrt{k}\)\(<n+1\)
二乗して，\(n^2\)\(\leqq k\)\(<n^2+2n+1\)
これを満たす\(k\)は\(n^2\)から\(n^2+2n\)の\(2n+1\)個となる．
ここで，\(n^2\)に注目すると，\(44\cdot44\)\(<2020\)となる．
よって，\(a_{k}=i\)の時，その個数が\(2i+1\)で\(i=1,\cdots,43\)まで考えればよい．また，\(i=44\)の時は，\(44^2=1936\)から\(2020\)までの\(85\)個となる．
よって，\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2020}a_{k}\)\(=\displaystyle \sum_{i=1}^{43}i\times (2i+1)\)\(+44\times 85\)\(=59554\)
参考入試問題（1998 早稲田大学）
正の整数\(k\)に対して，\(a_{k}\)を\(\sqrt{k}\)に最も近い整数とする．例えば，\(a_{5}=2\)．\(a_{8}=3\)，\(a_{20}=4\)である．
(1)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{12}a_{k}\)\(=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{12}\)を求めよ．
(2)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{1998}a_{k}\)\(=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{1998}\)を求めよ．
解答
(1)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{12}a_{k}\)\(=1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3\)\(=28\)
(2)\(a_{k}=n\)（\(n\)は自然数）と置くと，条件より\(\displaystyle \sqrt{k}-\frac{1}{2}\)\(<n\)\(\displaystyle <\sqrt{k}+\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle n-\frac{1}{2}\)\(<\sqrt{k}\)\(\displaystyle <n+\frac{1}{2}\)
二乗して，\(\displaystyle n^2-n+\frac{1}{4}\)\(<k\)\(<\displaystyle n^2+n+\frac{1}{4}\)
これを満たす\(k\)は\(n^2-n+1\)から\(n^2+n\)の\(2n\)個となる．
ここで，\(n^2+n\)\(=n(n+1)\)に注目すると，\(44\cdot45\)\(<1998\)\(<45\cdot46\)となる．
よって，\(a_{k}=i\)の時，その個数が\(2i\)で\(i=1,\cdots,44\)まで考えればよい．また，\(i=45\)の時は，\(45^2-45+1=1981\)から\(1998\)までの\(18\)個となる．
よって，\(\displaystyle \sum_{k=1}^{1998}a_{k}\)\(=\displaystyle \sum_{i=1}^{44}i\times 2i\)\(+45\times 18\)\(=59550\)