上級者
数列，微分，図形問題
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ヒント：中線定理を思い出そう．また考えられるパターンを書き出して成り立つ式を導き出そう．この時，解を求められない式もあるが，求められる解と大小を比較することはできる．
問題(オリジナル)
\(△ABC\)において，\(BC,CA,AB\)の長さを\(a,b,c\)とする．いずれかの辺の中点を\(D\)とすると，その辺と対角にある三角形の頂点と\(D\)をつないだ線の長さを\(d\)とする時，\(a,b,c,d\)が等比数列になる．\(a=1\)とする．考えられる\(△ABC\)の中で最小の面積を求めよ．
解答
等比数列の公比を\(r\)とすると，\(b=r\)，\(c=r^2\)，\(d=r^3\)となる．
ここで，\(AD=d\)，\(BD=d\)，\(CD=d\)の3パターン考えられる．その中で\(r\)が最も小さい場合が，辺の長さが最も短くなるため，\(△ABC\)の最小の面積となる．
(A)\(AD=d\)の時，
中線定理より，\(AB^2+AC^2\)\(=2(AD^2+BD^2)\)\(\Leftrightarrow\)\(r^4+r^2\)\(=\displaystyle 2\left(r^6+\frac{1}{4}\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(4r^6-2r^4-2r^2+1=0\)\(\Leftrightarrow\)\((2r^2-1)(2r^4-1)=0\)
\(0<r\)より，\(\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{2}}\)，\(\displaystyle r=\frac{1}{{}^{4}\sqrt{2}}\)
なお，\(\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(<\displaystyle \frac{1}{{}^{4}\sqrt{2}}\)なので，以降は\(\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{2}}\)を考えればよい．
(B)\(BD=d\)の時，
中線定理より，\(AB^2+BC^2\)\(=2(BD^2+AD^2)\)\(\Leftrightarrow\)\(r^4+1\)\(=\displaystyle 2\left(r^6+\frac{r^2}{4}\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(4r^6-2r^4+r^2-2=0\)
ここで\(r^2=x\)として，\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)よりも大きいか小さいかを確認する．
\(f(x)=4x^3-2x^2+x-2\)とすると，\(f'(x)=12x^2-4x+1>0\)なので，\(f(x)\)は単調増加関数である．ここで，\(\displaystyle f(\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}\)，\(f(1)=1\)なので，\(f(x)=0\)の解\(\alpha\)は\(\displaystyle \frac{1}{2}<\alpha<1\)である．
(C)\(CD=d\)の時，
中線定理より，\(AC^2+BC^2\)\(=2(CD^2+AD^2)\)\(\Leftrightarrow\)\(r^2+1\)\(=\displaystyle 2\left(r^6+\frac{r^4}{4}\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(4r^6+r^4-2r^2-2=0\)
\(f(x)=4x^3+x^2-2x-2\)とすると，\(f'(x)=12x^2+2x-2\)\(=2(3x-1)(2x+1)\)
これより，増減表を書くと次のようになる．
\begin{array}{c|c|c|c}
x & 0 & \cdots & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots & 1 \\ \hline
f'(x) & - & - & 0 & + & \cdots & + & + \\ \hline
f(x) & 0 &\searrow& -\frac{65}{27} &\nearrow& -\frac{9}{4} &\nearrow& 1 \\ \hline
\end{array}
よって，\(f(x)=0\)の解\(\alpha\)は\(\displaystyle \frac{1}{2}<\alpha<1\)である．
以上より，\(\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{2}}\)の時，\(△ABC\)が最小の面積となるる．
この時の面積はヘロンの公式より，\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}\)で，面積\(S\)\(=\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)に代入して，\(\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{16}\)